Winkelhalbierende bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 19.05.2011 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
es sind 3 Punkte gegeben:
[mm] A\A(1/2/3)
[/mm]
[mm] B\B(1/5/7)
[/mm]
[mm] C\C(1/2/5)
[/mm]
Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbierenden von [mm] \alpha
[/mm]
Zunächst habe ich die Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] bestimmt.
Für [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] habe ich [mm] \vektor{0 \\ 3 \\4} [/mm] und für [mm] \overrightarrow{AC} \vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] raus.
Jetzt stehe ich aber auf dem Schlauch. Ich weiß nicht weiter, was ich berechnen soll. Könnte mir da jemand helfen?
Danke schon mal im vorraus.
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Also ich denke mir das so: Du hast ein Dreieck. In diesem gibt es einen Winkel [mm] $\alpha$, [/mm] der bei Punkt A liegt und von den Schenkeln AB und AC gebildet wird. Wie lautet jetzt die Gleichung der Geraden, die durch A geht und genau in der Mitte zwischen AB,AC verläuft? Wäre das nicht die gesuchte Winkelhalbierende? ;)
Nachtrag: Es ist doch ganz einfach, wie Al-Chwaritzma aufgezeigt hat, auf sowas triviales bin ich natürlich wie immer nicht gekommen, Schande auf mein Haupt! Siehe seine Bemerkung, auch wenn der letzte Satz AR heißen muss :) Und zwar AR=AP+AQ
Das ist allerdings nicht ganz einfach, wie ich gerade feststelle, denn es ist keineswegs einfach z.B. die Verbindung zwischen A und der Mitte von BC. Man müsste den Winkel [mm] \alpha [/mm] bestimmen und sich dann Folgendes überlegen. Der Winkel zwischen der gesuchten WInkelhalbierenden und AB oder AC muss [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] betragen. AB und AC sind gegeben, der Winkel [mm] \alpha [/mm] kann ebenfalls bestimmt werden. Damit kann ein neues Skalarprodukt mit dem Unbekannten Richtungsvektor und entweder AB oder AC aufgestellt werden und du kannst den gesuchten RIchtungsvektor bestimmen. Yeah! ^^
Nachtrag: Du musst beide Gleichungen aufstellen, also sowohl
[mm] \overrightarrow{AB}*r_w [/mm] als auch [mm] \overrightarrow{AC}*r_w, [/mm] wobei [mm] r_w [/mm] der Richtungsvektor der WInkelhalbierenden ist. Denn du erhälst aufgrund der eiden unbekannten Komponenten x und y des Richtungsvektors [mm] r_w [/mm] ja zwei Unbekannte pro Gleichung!
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> Halihalo,
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> es sind 3 Punkte gegeben:
>
> [mm]A(1/2/3)[/mm] [mm]B(1/5/7)[/mm] [mm]C(1/2/5)[/mm]
>
> Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbie-
> renden von [mm]\alpha[/mm]
>
> Zunächst habe ich die Richtungsvektoren
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] bestimmt.
>
> Für [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] habe ich [mm]\vektor{0 \\ 3 \\4}[/mm] und
> für [mm]\overrightarrow{AC} \vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] raus.
Hallo Crashday,
mach dir klar, wie man die Winkelhalbierende
konstruieren würde:
Mit dem Zirkel zieht man einen Bogen mit
Zentrum A, welcher die beiden Schenkel des
Winkels in den Punkten P und Q schneidet.
Mittels zwei Bögen mit dem gleichen Radius
um die Punkte P und Q bestimmt man dann
den Punkt R so, dass die Figur APRQ ein
Parallelogramm, sogar ein Rhombus ist.
Dann ist AR die gesuchte Winkelhalbierende.
Rechnerisch kann man dies mittels Vektoren
gut nachvollziehen: Bestimme also zwei
Vektoren [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AQ} [/mm] , welche zu [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
kollinear sind und dazu gleich lang, also
[mm] |\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}| [/mm] .
Der Vektor [mm] \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ} [/mm] ist dann ein Richtungs-
vektor für die Winkelhalbierende.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Do 19.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
> > Halihalo,
> >
> > es sind 3 Punkte gegeben:
> >
> > [mm]A(1/2/3)[/mm] [mm]B(1/5/7)[/mm] [mm]C(1/2/5)[/mm]
> >
> > Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbie-
> > renden von [mm]\alpha[/mm]
> >
> > Zunächst habe ich die Richtungsvektoren
> > [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] bestimmt.
> >
> > Für [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] habe ich [mm]\vektor{0 \\ 3 \\4}[/mm] und
> > für [mm]\overrightarrow{AC} \vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] raus.
>
>
> Hallo Crashday,
>
> mach dir klar, wie man die Winkelhalbierende
> konstruieren würde:
> Mit dem Zirkel zieht man einen Bogen mit
> Zentrum A, welcher die beiden Schenkel des
> Winkels in den Punkten P und Q schneidet.
> Mittels zwei Bögen mit dem gleichen Radius
> um die Punkte P und Q bestimmt man dann
> den Punkt R so, dass die Figur APRQ ein
> Parallelogramm, sogar ein Rhombus ist.
> Dann ist AR die gesuchte Winkelhalbierende.
> Rechnerisch kann man dies mittels Vektoren
> gut nachvollziehen: Bestimme also zwei
> Vektoren [mm]\overrightarrow{AP}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AQ}[/mm] ,
> welche zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bzw. [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> kollinear sind und dazu gleich lang, also
> [mm]|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}|[/mm] .
> Der Vektor
> [mm]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}[/mm]
> ist dann ein Richtungs-
> vektor für die Winkelhalbierende.
>
> LG Al-Chw.
>
Asche auf mein Haupt ich schäme mich, aber meine Lösung hat den größeren Übungseffekt ;) Kleiner Fehler, es muss heißen:
[mm]\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}[/mm] . Aber sehr elegant. Man könnte natürlich auch noch Kreise mit ins Spiel bringen und so den SP berechnen, dann dürfte man noch mehr rechnen als bei mir :p
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 19.05.2011 | | Autor: | Crashday |
> > Halihalo,
> >
> > es sind 3 Punkte gegeben:
> >
> > [mm]A(1/2/3)[/mm] [mm]B(1/5/7)[/mm] [mm]C(1/2/5)[/mm]
> >
> > Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbie-
> > renden von [mm]\alpha[/mm]
> >
> > Zunächst habe ich die Richtungsvektoren
> > [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] bestimmt.
> >
> > Für [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] habe ich [mm]\vektor{0 \\ 3 \\4}[/mm] und
> > für [mm]\overrightarrow{AC} \vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] raus.
>
>
> Hallo Crashday,
>
> mach dir klar, wie man die Winkelhalbierende
> konstruieren würde:
> Mit dem Zirkel zieht man einen Bogen mit
> Zentrum A, welcher die beiden Schenkel des
> Winkels in den Punkten P und Q schneidet.
> Mittels zwei Bögen mit dem gleichen Radius
> um die Punkte P und Q bestimmt man dann
> den Punkt R so, dass die Figur APRQ ein
> Parallelogramm, sogar ein Rhombus ist.
> Dann ist AR die gesuchte Winkelhalbierende.
>
Bis dahin ist mir alles klar. Ich verstehe aber danach nicht, wie ich die Vektoren ausrechnen soll auch wenn du es hingeschrieben hast, wie ich es machen soll...
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Meine Antwort war quatsch, natürlich musst du vorher AB und AC auf eine einheitliche Länge bringen! Wenn dann |AB| = |AC|, dann kannst du beide addieren und hast die gesuchte Diagonale, die die Winkelhalbierende ist.
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> Bis dahin ist mir alles klar. Ich verstehe aber danach
> nicht, wie ich die Vektoren ausrechnen soll auch wenn du es
> hingeschrieben hast, wie ich es machen soll...
Es geht darum, dass du aus den beiden bekannten
Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] zwei neue Vektoren mit den
gleichen Richtungen produzierst, welche gleich lang
sind. Zu diesem Zweck kannst du z.B. aus beiden
Vektoren Einheitsvektoren machst, indem du jeden
durch seinen Betrag dividierst.
Rechnerisch ist aber oft folgender Weg angenehmer:
Multipliziere jeden der beiden Vektoren mit dem
Betrag des anderen. Also: wenn man einen Vektor [mm] \vec{w}
[/mm]
mit der Richtung der Winkelhalbierenden von [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v}
[/mm]
sucht, so setze man [mm] \vec{w}:=|\vec{v}|*\vec{u}+|\vec{u}|*\vec{v}
[/mm]
LG Al-Chw.
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