Winkelbestimmung Umrechenprob. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mo 03.07.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit c als Hypotenuse sind gegeben: a=2,2 cm, b= 5cm; gesucht: [mm] \alpha, \beta
[/mm]
2. Im Dreieck ABC sind drei Seiten gegeben. Berechne die Winkel in der genannten Reihenfolge.
gegeben: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 6 cm
gesucht: [mm] \alpha, \beta,\gamma [/mm] |
Moin,
1) Ich berechne also: tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{2,2}{5} [/mm] = 0,44.
Mit dem Taschenrechner [mm] tan^{-1} [/mm] erhalte ich [mm] \alpha [/mm] = 23,7°.
Wie berechne ich das aber jetzt ohne Taschenrechner.
0,44 ist doch das Bogenmaß (RAD), das ich in Grad (DEG) umrechnen kann mit 180 / [mm] \pi, [/mm] also:
(0,44 * 180) / [mm] \pi
[/mm]
ich bekomme aber dann ca. 25° heraus.
stimmt das überhaupt?
2) Noch fragwürdiger wird es hier.
Cosinussatz: [mm] a^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] - 2bc*cos [mm] \alpha
[/mm]
[mm] 4^2 [/mm] = [mm] 5^2 [/mm] + [mm] 6^2 [/mm] - 2*5*6* cos [mm] \alpha
[/mm]
60 cos [mm] \alpha [/mm] = 45
cos \ alpha = 0,75
Mit Taschenrechner [mm] cos^{-1} [/mm] ist [mm] \alpha [/mm] = 41,4°
mit 0,75*180 / [mm] \pi [/mm] ist [mm] \alpha [/mm] = 43°.
[mm] b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] - 2ac*cos [mm] \beta
[/mm]
25 = 16+36 - 48 cos [mm] \beta
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = 0,5625
Mit Taschenrechner [mm] cos^{-1} [/mm] ist [mm] \beta [/mm] = 55,8°
mit 0,5625*180 / [mm] \pi [/mm] ist [mm] \beta [/mm] = 32,2°.
=>???
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Disap |
> 1. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit c als Hypotenuse sind
> gegeben: a=2,2 cm, b= 5cm; gesucht: [mm]\alpha, \beta[/mm]
>
> 2. Im Dreieck ABC sind drei Seiten gegeben. Berechne die
> Winkel in der genannten Reihenfolge.
>
> gegeben: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 6 cm
> gesucht: [mm]\alpha, \beta,\gamma[/mm]
> Moin,
Hallo.
> 1) Ich berechne also: tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{2,2}{5}[/mm] = 0,44.
>
> Mit dem Taschenrechner [mm]tan^{-1}[/mm] erhalte ich [mm]\alpha[/mm] =
> 23,7°.
>
> Wie berechne ich das aber jetzt ohne Taschenrechner.
>
> 0,44 ist doch das Bogenmaß (RAD), das ich in Grad (DEG)
> umrechnen kann mit 180 / [mm]\pi,[/mm] also:
>
>
> (0,44 * 180) / [mm]\pi[/mm]
>
>
> ich bekomme aber dann ca. 25° heraus.
>
>
> stimmt das überhaupt?
Natürlich nicht. Oder wie erklärst du dir, dass zwei unterschiedliche Ergebnisse herauskommen?
Stellen wir uns einmal die Tangensfunktion vor. Hast du den Ausdruck
[mm] tan(\alpha)=0.44 [/mm] dann fragst du dich, bei welchem Winkel (wenn wir die X-Achse sozusagen mit Winkel beschriften) ist der Tangens 0.44 hoch (Y-Wert).
[mm] $\alpha [/mm] = atan(0.44) [mm] \approx23.75°$
[/mm]
Das 0.44 kannst du nicht in eine Gradzahl umwandeln.
Was du in das Bogenmass umwandeln kannst, ist allerdings das Ergebnis 23.75°. Das wandelt man um, indem durch [mm] $\br{23.75°*\pi}{180°}=0.4145$
[/mm]
So ist auch im Bogenmass der [mm] atan(0.44)\approx0.4145
[/mm]
Mit [mm] \br{180}{\pi} [/mm] wandelt man das Ergebnis wieder in Grad um.
> Wie berechne ich das aber jetzt ohne Taschenrechner.
Den atan von 0.44 berechnen? ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") Reihenentwicklung. Aber du meintest wohl etwas anderes.
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 03.07.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo,
bleiben wir mal bei tan [mm] \alpha [/mm] = 0,44. wie bzw. nach welcher formel kann man den winkel berechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Wolfgang,
wenn [mm] tan(\alpha)=0,44 [/mm] ist, dann ist [mm] \alpha=tan^{-1}(0,44)=arctan(0,44) [/mm] und somit [mm] \alpha=0,41 [/mm] (in RAD)
wenn [mm] tan(\alpha)=0,44 [/mm] ist, dann ist [mm] \alpha=tan^{-1}(0,44)=arctan(0,44) [/mm] und somit [mm] \alpha=23,74 [/mm] (in DEG)
war es das, was du wissen wolltest?
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Wolfgang,
du verwendest in beiden Fällen das Argument der Winkelfunktionen nicht richtig.
> 1. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit c als Hypotenuse sind
> gegeben: a=2,2 cm, b= 5cm; gesucht: [mm]\alpha, \beta[/mm]
>
> 2. Im Dreieck ABC sind drei Seiten gegeben. Berechne die
> Winkel in der genannten Reihenfolge.
>
> gegeben: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 6 cm
> gesucht: [mm]\alpha, \beta,\gamma[/mm]
> Moin,
>
> 1) Ich berechne also: tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{2,2}{5}[/mm] = 0,44.
>
> Mit dem Taschenrechner [mm]tan^{-1}[/mm] erhalte ich [mm]\alpha[/mm] =
> 23,7°.
>
> Wie berechne ich das aber jetzt ohne Taschenrechner.
>
> 0,44 ist doch das Bogenmaß (RAD), das ich in Grad (DEG)
> umrechnen kann mit 180 / [mm]\pi,[/mm] also:
>
>
> (0,44 * 180) / [mm]\pi[/mm]
>
>
> ich bekomme aber dann ca. 25° heraus.
>
du sagts hier, dass [mm] tan(\alpha)=\alpha [/mm] sei und das stimmt nicht.
[mm] tan(\alpha)=0,44 [/mm] und [mm] \alpha=tan^{-1}(0,44)=0,41
[/mm]
bei einem Winkel ist nur [mm] \alpha [/mm] gemeint und nicht [mm] tan(\alpha) [/mm] -- deshalb ist auch [mm] 0,44*\bruch{180°}{\pi}=25,21°\not=23,74°*\bruch{\pi}{180°}=0,41=\alpha
[/mm]
und die andere geht analog 
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 04.07.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin herby,
ja, vielen dank! das hilft mir weiter! durch deine beiträge bin ich noch auf die idee gekommen, mir via wikipedia etwas über arkus-funktionen herauszusuchen.
liebe grüße
wolfgang
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