Winkel von den Diagonalen!" < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 08.04.2006 | | Autor: | MrS |
Hi,
ich habe ein Parallelogramm gegeben!
A(6|1|2) B(8|8|1) C(2|7|4) D(0|0|5)
jetzt möchte ich den winkel berechnen, wie sich die diagonalen schneiden!
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Da bin ich wie folgt vorgegangen
cos( [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AC}* \overrightarrow{BD}}{ \overrightarrow{|AC|} \overrightarrow{BD}}
[/mm]
==>
cos( [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ \vektor{-4 \\ 6 \\ 2}* \vektor{-8 \\ -8 \\ 4}}{ (2* \wurzel{14})* 12} [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 95,11°
kann mir jemand vielleicht das ergebnis bestätigen?
mit freundlichen grüßen
mrs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Also das kannst du doch leicht selber prüfen! Einfach aufmalen und mit nem Geodreieck nachmessen...
Ich guck mir die Aufgabe mal an und melde mich dann wieder.
Gruß
prfk
EDIT: Sorry.. Ist ja 3dimensional... Dann wirds schwer mit zeichen... Wie gesagt ich rechne mal...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Ich bin gerade zu dem Ergebnis gekommen, dass man das ganze doch zeichen kann. Die Lage im Raum ist ja unerheblich für den Schnittwinkel der Diagonalen.
Man kann also eine Dimension weglassen. Jetzt muss man sich nur über legen ob x, y oder z.
Also Koordinatensystem zeichen und loslegen. Wenn du die 4 Punkte Eingezeichnet hast, und einen "Strich" bekommst, wenn du sie verbindest, weißt du, dass du von der Seite auf das Parallelogramm schaust.
Wenn du ein Parallelogramm siehst, weißt du dass du die richtig koordinate weggelassen hast.
Ich hab die z-Koordinate weggelassen und gleich glück gehabt. Ich sehe ein Parallelogramm und habe den Winkel gemessen.
Hab allerdings 101° bzw 79° abgelesen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 08.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo,
> Ich bin gerade zu dem Ergebnis gekommen, dass man das ganze
> doch zeichen kann. Die Lage im Raum ist ja unerheblich für
> den Schnittwinkel der Diagonalen.
Ja, aber:
> Man kann also eine Dimension weglassen.
Neiiin!
Damit projizierst Du das schräg im Raum liegende Parallelogramm auf eine Koordinaten-Ebene.
Dadurch verändern sich natürlich die Winkel (und die Seitenlängen)!
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Jo, hast recht! Das klappt leider doch nicht in allen Fällen...
Danke der Korrektur!
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Hallo,
deine Rechnung ist richtig, das Ergebnis stimmt auch (in der Formel fehlen aber die Betragsstriche im Nenner (|BD|)).
Doch hast du irgendwie seltsame Vektoren gewählt.
Ein Parallelogramm beschriftet man immer gegen den Uhrzeigersinn. Somit ist AC und BD nie mit einander verbunden. A wäre unten rechts die Ecke und C oben rechts. Damit es stimmt musst du die Vektoren AB und AD nehmen. Dann bekommst du am Ende für den Winkel [mm] \alpha [/mm] = 116,19.
Edit: Ich sehe gerade, dass du die Schnittwinkel der Diagonalen suchst. Damit stimmt deine Rechnung, und die gewählten Vektoren ;).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 09.04.2006 | | Autor: | MrS |
In der Lösung steht jedoch um die gesamte Rechnung noch einen Betrag das sieht dann so aus !
cos ( [mm] \alpha [/mm] ) = [mm] \vmat{\bruch{\overrightarrow{AC}\cdot{} \overrightarrow{BD}}{ \overrightarrow{|AC|} \overrightarrow{BD}}}
[/mm]
kann mir einer sagen was dies zu bedeuten hat? (dadurch erhalte ich auch ein anderes ergebnis)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 09.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es gilt doch : [mm] $cos(\alpha)=-cos(180-\alpha)$
[/mm]
die Diagonalen haben doch zwei Schnittwinkel - wenn du den äußeren Betrag dazu schreibst erhälst du immer einen positiven Wert und somit den kleineren Winkel (bis 90° ist der cos ja positiv...)
der Unterschied ist also einfach, dass man sich für den kleineren Winkel interessiert und durch obige Gleichung siehst du, dass es so auch klappt.
viele Grüße
DaMenge
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