Winkel für Richtungsableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Fr 05.06.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Gegeben: f(x,y) = [mm] ye^{3x+5y}
[/mm]
Gesucht ist der Winkel [mm] \gamma \in [0,\pi], [/mm] in dessen Richtung die Richtungsableitung von f an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{3},2) [/mm] gleich null ist. |
Die Richtungsableitung in Richtung z.B. eines gegebenen Vektors würde bei dieser Funktion wie folgt aussehen:
Allg.:
[mm] f_{\vec{v}} (x_{0},y_{0}) [/mm] = [mm] f_{x}(x_{0},y_{0}) [/mm] * [mm] \bruch{v_{1}}{\parallel\vec{v}\parallel} [/mm] + [mm] f_{y}(x_{0},y_{0}) *\bruch{v_{2}}{\parallel\vec{v}\parallel}
[/mm]
Die partiellen Ableitungen bei der Funktion an der gegebenen Stelle [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{3},2) [/mm] nach x ist: 6 * [mm] e^{9}
[/mm]
Nach y wäre: 11 * [mm] e^{9}
[/mm]
Wenn ich nun weiß, dass die Richtungsableitung gleich null wird, wie kann ich nun den Winkel herausfinden?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
cooly
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> Wenn ich nun weiß, dass die Richtungsableitung gleich null
> wird, wie kann ich nun den Winkel herausfinden?
Nunja, du erhälst eine Gleichung mit 2 Unbekannten (logisch, da ja unendlich viele Vektoren den gleichen Winkel haben).
Von einem dieser Vektoren rechnest du nun den Winkel aus, in welchem er im Koordinatensystem liegt......
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 05.06.2009 | | Autor: | cooly |
Also ich komme auf die folgende Gleichung:
6 * [mm] e^{9} [/mm] * [mm] \bruch{v_{1}}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}} [/mm] + 11 * [mm] e^{9} [/mm] * [mm] \bruch{v_{2}}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}} [/mm]
Ich könnte nun noch das [mm] e^{9} [/mm] sowie den Nenner [mm] \bruch{1}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}} [/mm] ausklammern, aber dann habe ich immer noch die zwei Variablen in einer Gleichung drin.
Leider komme ich da nicht weiter...
Kann ich nun für z.B. [mm] v_{1} [/mm] irgendeinen Wert annehmen (z.B. 1), dann in Abhängigkeit davon [mm] v_{2} [/mm] sowie schließlich den Winkel bestimmen?
Danke im Voraus!
Gruß
cooly
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Hallo cooly,
> Also ich komme auf die folgende Gleichung:
>
> 6 * [mm]e^{9}[/mm] * [mm]\bruch{v_{1}}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}}[/mm] +
> 11 * [mm]e^{9}[/mm] * [mm]\bruch{v_{2}}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}}[/mm]
>
> Ich könnte nun noch das [mm]e^{9}[/mm] sowie den Nenner
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})}}[/mm] ausklammern, aber
> dann habe ich immer noch die zwei Variablen in einer
> Gleichung drin.
Nun, für die Richtung kannst Du ansetzen:
[mm]\pmat{v_{1} \\ v_{2}}=\pmat{\cos\left(\gamma\right) \\ \sin\left(\gamma\right)}[/mm]
>
> Leider komme ich da nicht weiter...
> Kann ich nun für z.B. [mm]v_{1}[/mm] irgendeinen Wert annehmen
> (z.B. 1), dann in Abhängigkeit davon [mm]v_{2}[/mm] sowie
> schließlich den Winkel bestimmen?
>
> Danke im Voraus!
>
> Gruß
> cooly
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 05.06.2009 | | Autor: | cooly |
Ich muss wohl einen Fehler gemacht oder den falschen Ansatz verwendet haben.
Wenn ich nun durch das Einsetzen von sin und cos auf die folgende Gleichung komme, verwende ich die Regel [mm] tan\gamma [/mm] = [mm] \bruch{sin \gamma}{cos \gamma}
[/mm]
Ich habe die folgende Gleichung:
[mm] e^{9} [/mm] * (6 cos [mm] \gamma [/mm] + 11 sin [mm] \gamma) [/mm] = 0
D.h.:
[mm] tan\gamma [/mm] = - [mm] \bruch{6}{11}
[/mm]
Aber das kann nicht sein, da die Vorgabe ist, dass [mm] \gamma \in [0,\pi] [/mm] ist.
Danke im Voraus!
Gruß
cooly
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Natürlich kannst du den Vektor nehmen, für den [mm] tan\varphi [/mm] = [mm] \bruch{6}{11}, [/mm] da die Richtungsableitung von [mm] -\vector{v} [/mm] und [mm] \vector{v} [/mm] identisch sind....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Sa 06.06.2009 | | Autor: | cooly |
Für tan [mm] \gamma [/mm] = (-) [mm] \bruch{6}{11} [/mm] komme ich auf einen Winkel von ca. 28,6105°.
Aber es gibt doch nun noch einen zweiten passenden Winkel von 180° - 28,6105° [mm] \approx [/mm] 151,39° oder sehe ich das falsch (nach der Vorgabe [mm] \gamma \in [/mm] [0, [mm] \pi])?
[/mm]
In der Aufgabe ist jedoch nur nach dem einen Winkel gefragt? Welcher ist nun der korrekte Winkel?
Danke
cooly
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Hiho,
mein Posting mit [mm] tan\varphi [/mm] = [mm] \bruch{6}{11} [/mm] sei auch ne Lösung, ist natürlich Unsinn, Sorry dafür.
Insofern gilt nur [mm] tan\varphi [/mm] = [mm] -\bruch{6}{11} [/mm] und dafür ist die Lösung in [mm] [0,\pi] [/mm] dann natürlich eindeutig....
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Sa 06.06.2009 | | Autor: | cooly |
Vielen Dank für die Antwort.
Ok, dann bekomme ich für tan [mm] \gamma [/mm] = - [mm] \bruch{6}{11} [/mm] den Winkel [mm] \gamma [/mm] = - 28,6105° heraus. Wenn ich das zur Probe einsetze, wird die Richtungsableitung [mm] (e^{9} [/mm] * (6 * cos [mm] \gamma [/mm] + 11 * sin [mm] \gamma)) [/mm] auch null.
Mein Ergebnis ist dann ein negativer Winkel?
Wenn ich nun prüfen möchte, ob der im Definitionsbereich liegt und den berechnten Winkel einsetze in sin und cos:
sin (- 28,6105°) [mm] \approx [/mm] -0,4788 --> liegt nicht in [mm] \gamma \in [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
cos (- 28,6105°) [mm] \approx [/mm] 0,8779 --> liegt in [mm] \gamma \in [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
Ich kann nun das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen mit dem negativen Winkel und der Probe mit dem sin und cos...
Kann mich da bitte jemand aufklären?
Vielen Dank,
cooly
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Hiho,
> Ok, dann bekomme ich für tan [mm]\gamma[/mm] = - [mm]\bruch{6}{11}[/mm] den
> Winkel [mm]\gamma[/mm] = - 28,6105° heraus.
jo, das ist EINE Lösung des Tangens, der ja unendlich viele hat.
Verschiebe deine Lösung soweit, dass sie in deinem Definitionsbereich [mm] [0,\pi] [/mm] liegt.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 06.06.2009 | | Autor: | cooly |
Vielen Dank für die Hilfe.
Beim Tangens rechne ich in 180° Schritten:
180° + [mm] \gamma \approx [/mm] 180° - 28,6104° [mm] \approx [/mm] 151,389°
Und das müsste nun mein Winkel sein, da er im vorgegebenen Bereich liegt und die Richtungsableitung null wird 
Gruß
cooly
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Korrekt 
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