Wiener-Prozess/EW und Varianz < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Di 30.05.2006 | | Autor: | Karolin |
| Aufgabe | Sie f:[0,T] [mm] \to \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion und [mm] (W_{t}) [/mm] ein Wiener-Prozess. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable
Y(w)= [mm] \integral_{0}^{T}{f(s) dW_{s}(w)} [/mm] |
Hallo.
Meine Lerngruppe und ich haben ein Problem mit dieser Hausaufgabe. Wir wissen leider gar nicht, wie man da ran gehen soll, weil wir das Thema noch nicht so richtig verstanden haben. Deshalb kann ich jetzt leider auch keinen Ansatz geben. Ich hoffe, es kann mir vielleicht trotzdem jemand weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Karolin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 31.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Gemäß Itô-Integral-Definition ist
[mm] $$\int\limits_0^T [/mm] ~ f(s) ~ [mm] \mathrm{d}W_s(\omega) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(t_k)\left(W_{t_{k+1}}(\omega)-W_{t_k}(\omega)\right)$$
[/mm]
für P-f.a. [mm] $\omega$, [/mm] wobei der Grenzübergang natürlich für [mm] $0=t_0
Damit und unter Nutzung der Verteilung [mm] $(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})\sim \mathcal{N}(0,t_{k+1}-t_k)$ [/mm] der Zuwächse des Wienerprozesse, sowie deren Unabhängigkeit lassen sich nun Erwartungswert und Varianz deiner Zufallsgröße $Y$ bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 01.06.2006 | | Autor: | Karolin |
Hallo. Ich habe noch eine kurze Rückfrage. Und zwar bei der Berechnung der Varianz. Man hat ja
Var( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n-1}f [/mm] ( [mm] t_{k} [/mm] )( [mm] W_{t}_{k+1} [/mm] - [mm] W_{t}_{k} [/mm] ))
Da hab ich jetzt auf grund der Unabhängigkeit der Zuwächse die Varianz in die Summe gezogen und das f( [mm] \t_{k}) [/mm] quadratisch rausgezogen.
Dann erhält man ja eine Teleskopsumme und es bleibt :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f( t_{n-1})^{2} *t_{n}- [/mm] f( [mm] t_{0})^{2} *t_{0})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f( t_{n-1})^{2}* [/mm] T- f( [mm] t_{0})^{2} [/mm] *0)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f( t_{n-1})^{2} [/mm] *T
Ist das richtig bzw ist man dann fertig oder kann man noch was mit f( [mm] t_{n-1})^{2} [/mm] machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 01.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Aufgrund der Unabhängigkeit der Zuwächse kann man rechnen
[mm] $$\operatorname{var}\left( \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(t_k)\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k} \right) \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1} (f(t_k))^2\cdot \operatorname{var}\left( W_{t_{k+1}}-W_{t_k} \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1} (f(t_k))^2\cdot (t_{k+1}-t_k)$$
[/mm]
Das ist aber keine Teleskopsumme, sondern eine Riemann-Summe, die im Grenzübergang zu einem Riemann-Integral wird.
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