Wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Do 05.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei g eine ganze Funktion und f: [mm] \IC^*\to\IC [/mm] mit [mm] f(z)=g(\frac{1}{z})
[/mm]
Zu zeigen ist: f hat genau dann in 0 eine wesentliche Singularität wenn g kein Polynom ist. |
Îch denke die Richtung "=>" habe ich soweit, denn falls g ein Polynom ist, so ist f eine rationale Funktion und besitzt in 0 einen Pol.
Was muss ich bei der Rückrichtung tun?
vlg Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei g eine ganze Funktion und f: [mm]\IC^*\to\IC[/mm] mit
> [mm]f(z)=g(\frac{1}{z})[/mm]
> Zu zeigen ist: f hat genau dann in 0 eine wesentliche
> Singularität wenn g kein Polynom ist.
> Îch denke die Richtung "=>" habe ich soweit, denn falls g
> ein Polynom ist, so ist f eine rationale Funktion und
> besitzt in 0 einen Pol.
Na ja.
>
> Was muss ich bei der Rückrichtung tun?
Mach es so:
Da g eine ganze Funktion ist, hat g auf [mm] \IC [/mm] die Potenzreihenentwicklung
$g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$
[/mm]
Dann ist
(*) $f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}$
[/mm]
Beachte , dass in (*) gerade die Laurententwicklung von f um 0 steht !!
Damit:
f hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm] \gdw a_n \not= [/mm] 0 für unendlich viele $n [mm] \in \IN$ \gdw [/mm] g ist kein Polynom.
FRED
>
> vlg Daniel
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