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Wertebereiche richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Do 05.01.2006
Autor: Vilinja

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich soll die Wertemenge der folgenden Funktionen bestimmen. Kann mir jemand sagen, ob die richtig sind?
Und ist die Schreibweise x [mm] \mapsto [/mm] x² das gleiche wie f(x) = x²?

a) x [mm] \mapsto [/mm] x²
W = [mm] \{x | x \ge 0 \} [/mm]

b) x [mm] \mapsto [/mm] x²+1
W = [mm] \{x | x \ge 1 \} [/mm]

c)  x [mm] \mapsto [/mm] 2-x²
W = [mm] \{x | 2 \ge x \ge -\infty \} [/mm]

d) x [mm] \mapsto -(x+2)^{2}+3 [/mm]
W = [mm] \IR [/mm]

e)  x [mm] \mapsto [/mm] 3x - 0,5
W = [mm] \IR [/mm]

f) x [mm] \mapsto [/mm] sin x
W = [mm] \{x | -1 \le x \le 1 \} [/mm]

Und wie ist das bei x [mm] \mapsto [/mm] 2sin x ?

g)  x [mm] \mapsto 3^{x} [/mm]
W = [mm] \IR [/mm]

h) x [mm] \mapsto [/mm] 3
W = 3
        
Bezug
Wertebereiche richtig?: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Do 05.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Vilinja!


>  Und ist die Schreibweise x [mm]\mapsto[/mm] x² das gleiche wie f(x) = x²?

[daumenhoch] Ja! Oder auch: $y \ = \ [mm] x^2$ [/mm] .


> a) x [mm]\mapsto[/mm] x²
> W = [mm]\{x | x \ge 0 \}[/mm]

Zahlenwert stimmt. Aber die Wertemenge beinhaltet nicht die [mm] $\red{x}$-Werte [/mm] sondern die zugehörigen Funktionswerte, also die [mm] $\red{y}$-Werte: [/mm]

[mm]W = \{\red{y}\in\IR \ | \ \red{y} \ge 0 \}[/mm]

  
> b) x [mm]\mapsto[/mm] x²+1
> W = [mm]\{x | x \ge 1 \}[/mm]

[ok] Halt mit [mm] $\red{y}$ [/mm] .


> c)  x [mm]\mapsto[/mm] 2-x²
> W = [mm]\{x | 2 \ge x \ge -\infty \}[/mm]

[ok] Es reicht auch aus: [mm]W = \{y\in\IR \ | \ y \le 2 \}[/mm]

  
> d) x [mm]\mapsto -(x+2)^{2}+3[/mm]
> W = [mm]\IR[/mm]

[notok] Kann z.B. der Wert $y \ = \ 4$ erreicht werden?



> e)  x [mm]\mapsto[/mm] 3x - 0,5
> W = [mm]\IR[/mm]

[ok]


> f) x [mm]\mapsto[/mm] sin x
> W = [mm]\{x | -1 \le x \le 1 \}[/mm]

[ok] Halt mit [mm] $\red{y}$ [/mm] .


> Und wie ist das bei x [mm]\mapsto[/mm] 2sin x ?

Wenn der [mm] $\sin(x)$ [/mm] y-Werte bis maximal [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ +1_$ annehmen kann ... was bedeutet das dann für den Maximalwert mit dem Faktor $2_$ ?


> g)  x [mm]\mapsto 3^{x}[/mm]
> W = [mm]\IR[/mm]

[notok] Können auch negative Werte oder $y \ =\ 0$ angenommen werden?
Wenn ja, für welche $x_$ ?



> h) x [mm]\mapsto[/mm] 3
> W = 3

[ok]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
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Wertebereiche richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Do 05.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

> > h) x [mm]\mapsto[/mm] 3
>  > W = 3

Schreibe hier besser [mm] $W=\{3\}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Wertebereiche richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Do 05.01.2006
Autor: Vilinja


> > c)  x [mm]\mapsto[/mm] 2-x²
>  > W = [mm]\{x | 2 \ge x \ge -\infty \}[/mm]

>  
> [ok] Es reicht auch aus: [mm]W = \{y\in\IR \ | \ y \le 2 \}[/mm]

Muss man hinschreiben [mm] y\in\IR [/mm]  oder reicht auch einfach y?
>  
>
> > d) x [mm]\mapsto -(x+2)^{2}+3[/mm]
>  > W = [mm]\IR[/mm]

>  
> [notok] Kann z.B. der Wert [mm]y \ = \ 4[/mm] erreicht werden?


Ok, das geht nicht. Dann W = [mm] \{y | y \le 3\} [/mm] ?

Kann man in einer Arbeit eigentlich die Funktion einfach in den GTR eingeben und schauen, was da alles für Werte angenommen werden, oder kann man das irgendwie ausrechnen?
>  
>
> > f) x [mm]\mapsto[/mm] sin x
>  > W = [mm]\{x | -1 \le x \le 1 \}[/mm]

>  
> [ok] Halt mit [mm]\red{y}[/mm] .
>  
>
> > Und wie ist das bei x [mm]\mapsto[/mm] 2sin x ?
>  
> Wenn der [mm]\sin(x)[/mm] y-Werte bis maximal [mm]y_{\max} \ = \ +1_[/mm]
> annehmen kann ... was bedeutet das dann für den Maximalwert
> mit dem Faktor [mm]2_[/mm] ?
>  

Dann geht der bis [mm] y_{\max} [/mm] = +2 ?

>
> > g)  x [mm]\mapsto 3^{x}[/mm]
>  > W = [mm]\IR[/mm]

>  
> [notok] Können auch negative Werte oder [mm]y \ =\ 0[/mm] angenommen
> werden?
>  Wenn ja, für welche [mm]x_[/mm] ?
>  

Nein geht nicht?
Dann W = [mm] \{y | y > 0\} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Wertebereiche richtig?: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Do 05.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo ...


> Es reicht auch aus: [mm]W = \{y\in\IR \ | \ y \le 2 \}[/mm]
> Muss man hinschreiben [mm]y\in\IR[/mm]  oder reicht auch einfach y?

[meinemeinung] Wenn verkürzt, dann eher so:

[mm] $W_y [/mm] \ = \ [mm] \{ \ y\le 2 \ \}$ [/mm]

Aber genauer (und "schöner") ist die o.g. Variante.



> d) x [mm]\mapsto -(x+2)^{2}+3[/mm]
> Ok, das geht nicht. Dann W = [mm]\{y | y \le 3\}[/mm] ?

[ok]

  
> Kann man in einer Arbeit eigentlich die Funktion einfach in
> den GTR eingeben und schauen, was da alles für Werte
> angenommen werden, oder kann man das irgendwie ausrechnen?

Klar, kann man das auch ausrechnen. Entweder führst Du eine Extremwertberechnung durch und betrachtest zusätzlich die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereiches.

Hir geht das aber einfacher: Wir haben eine Parabel in Scheitelpunktsform vorliegen. Durch das [mm] $\red{-}$ [/mm] vor der Quadratklammer wissen wir, dass diese Parabel nach unten geöffnet ist. Für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] geht diese Funktion also gegen [mm] $\red{-}\infty$. [/mm]

Der höchste Punkt der Parabel ist der Scheitelpunkt, den wir ablesen können aus der Funktionsgleichung $y \ = \ [mm] -(x+2)^2+3 [/mm] \ = \ [mm] -[x-\red{(-2)}]^2+\blue{3}$ [/mm] ablesen können mit: $S \ [mm] \left( \ \red{-2} \ | \ \blue{+3} \ \right)$ [/mm] .

Der maximale y-Wert lautet also: [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ [mm] \blue{+3}$ [/mm]

Daraus folgt nun der Wertebereich [mm] $W_y$ [/mm] .



> > f) Wenn der [mm]\sin(x)[/mm] y-Werte bis maximal [mm]y_{\max} \ = \ +1_[/mm]
> > annehmen kann ... was bedeutet das dann für den Maximalwert
> > mit dem Faktor [mm]2_[/mm] ?
> >  

> Dann geht der bis [mm]y_{\max}[/mm] = +2 ?

[ok] Und der Minimalwert?

Wie lautet also der Wertebereich [mm] $W_y$ [/mm] für $y \ = \ [mm] 2*\sin(x)$ [/mm] ?



> g) Nein geht nicht?
> Dann W = [mm]\{y | y > 0\}[/mm]

[ok]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Wertebereiche richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Do 05.01.2006
Autor: Vilinja


> Hallo ...

> > d) x [mm]\mapsto -(x+2)^{2}+3[/mm]
>  > Ok, das geht nicht. Dann W =

> [mm]\{y | y \le 3\}[/mm] ?
>  
> [ok]
>  
>
> > Kann man in einer Arbeit eigentlich die Funktion einfach in
> > den GTR eingeben und schauen, was da alles für Werte
> > angenommen werden, oder kann man das irgendwie ausrechnen?
>  
> Klar, kann man das auch ausrechnen. Entweder führst Du eine
> Extremwertberechnung durch und betrachtest zusätzlich die
> Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereiches.
>  
> Hir geht das aber einfacher: Wir haben eine Parabel in
> Scheitelpunktsform vorliegen. Durch das [mm]\red{-}[/mm] vor der
> Quadratklammer wissen wir, dass diese Parabel nach unten
> geöffnet ist. Für [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] geht diese Funktion

> also gegen [mm]\red{-}\infty[/mm].
>  
> Der höchste Punkt der Parabel ist der Scheitelpunkt, den
> wir ablesen können aus der Funktionsgleichung [mm]y \ = \ -(x+2)^2+3 \ = \ -[x-\red{(-2)}]^2+\blue{3}[/mm]
> ablesen können mit: [mm]S \ \left( \ \red{-2} \ | \ \blue{+3} \ \right)[/mm]
> .
>  
> Der maximale y-Wert lautet also: [mm]y_{\max} \ = \ \blue{+3}[/mm]
>  
> Daraus folgt nun der Wertebereich [mm]W_y[/mm] .


Ah, jetzt wo du es sagst, seh ich es auch mit dem Scheitelpunkt...
Muss mir mal merken wie die Form aussieht...
>  
>
>
> > > f) Wenn der [mm]\sin(x)[/mm] y-Werte bis maximal [mm]y_{\max} \ = \ +1_[/mm]
> > > annehmen kann ... was bedeutet das dann für den Maximalwert
> > > mit dem Faktor [mm]2_[/mm] ?
>  > >  

> > Dann geht der bis [mm]y_{\max}[/mm] = +2 ?
>  
> [ok] Und der Minimalwert?
>  
> Wie lautet also der Wertebereich [mm]W_y[/mm] für [mm]y \ = \ 2*\sin(x)[/mm]
> ?
>  

W =  [mm] \{-2 \le x \le 2 \} [/mm]

Wenn x gegen unendlich geht, dann pendelt das doch immer zwischen -2 und 2? Wie schreibt man sowas dann hin?
Bezug
                                        
Bezug
Wertebereiche richtig?: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Do 05.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Vilinja!


> W =  [mm]\{-2 \le x \le 2 \}[/mm]
>
> Wenn x gegen unendlich geht, dann pendelt das doch immer
> zwischen -2 und 2? Wie schreibt man sowas dann hin?

Genauso wie Du oben [ok] .
Aber wir wollten hier ja ein [mm] $\red{y}$ [/mm] schreiben, oder? ;-)


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Wertebereiche richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Do 05.01.2006
Autor: Vilinja


>  Aber wir wollten hier ja ein [mm]\red{y}[/mm] schreiben, oder? ;-)

Ja stimmt, wollten wir ;-)  
Danke :-)
Bezug
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