Wert der Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Di 16.09.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | Man beweise, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] konvergiert und estimme den Grenzwert. |
Ich bin über Partialbruchzerlegung auf
[mm] \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}=\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2(n+2)}-\bruch{1}{(n+1)} [/mm] gekommen.
Jetzt komme ich so weit:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2(n+2)}-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)}
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter, ich muss doch die Summen irgentwie so umformen, dass sich alles bis auf endliche Summanden wegkürtzt??
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Hallo Woaze!
> Ich bin über Partialbruchzerlegung auf [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}=\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2(n+2)}-\bruch{1}{(n+1)}[/mm] gekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Forme nun um wie folgt und betrachte anschließend zwei Teilreihen:
[mm] $$\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2(n+2)}-\bruch{1}{(n+1)}$$
[/mm]
$$... \ = \ [mm] \bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2(n+2)}-\bruch{2}{2*(n+1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2(n+2)}-\bruch{1}{2*(n+1)}-\bruch{1}{2*(n+1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)-\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}\right)\right]$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 16.09.2008 | | Autor: | Woaze |
Danke habs geschafft
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