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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:52 Sa 18.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich bereite mich gerade für mein Abi vor und habe noch eine Frage, die mir eben eingefallen ist.
Wie kann ich qualitativ bestimmen, ob eine Funktion eine Wendestelle besitzen muss?
Ich habe das in gebrochenrationale Funktionen reingestellt, weil unser Schwerpunkt darauf liegt.
z.B. in Abi '08, da war so eine Aufgabe und sie begründet es so:
"Ausgehend vom Hochpunkt fällt der Graph von f und schnigt sich von oben an die x-Achse an. Dies ist nur möglich, wenn (mindestens) eine Wendestelle vorhanden ist."
Zusätzliche Frage: Gilt es nur bei Hochpunkten?! Wenn es einen Tiefpunkt gäbe, wäre doch dort genau so eine Wendestelle(ist ja eigentlich logisch), oder?!
Und wenn ich jetzt eine normale Quadratfunktion nehme, -x² z.B.. Sie hat auch einen Hochpunkt.
Aber sie hat deshalb noch lange keinen Wendepunkt!
Also ist die Begründung doch sinnlos, weil es nicht für alle Funktionen spricht, oder spricht diese Begründung nur bei gebrochenrationalen Funktionen?
Vielen Dank
LG
sardelka
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Hallo!
Du solltest dir eine Skizze von der Funktion machen, um dir einen Überblick über die ganzen Krümmungen machen kannst.
An einem Hochpunkt ist die Kurve auf jeden Fall rechtsgekrümmt. Wenn die Funktion sich von oben an die x-Achse anschmiegt, ist sie sicherlich linksgekrümmt. Demnach muß dazwischen ein re-li-Wendepunkt liegen, wenn es nicht noch ne Polstelle oder ein Sprung liegt.
Schau dir [mm] \frac{1}{(x+1)(x-1)} [/mm] an. Hochpunkt bei x=0 und schmiegt sich für [mm] x\to\pm\infty [/mm] von oben an die x-Achse an. Beidseitig des Hochpunktes gibts aber einen einfachen Pol, von x=0 aus schmiegt sich die Funktionen nach unten an die Graden [mm] x=\pm1 [/mm] an. D.h. zwischen den Polen ist die Funktion stets rechtsgekrümmt. Von außen schmiegt sich die Funktion stets ins Positive an die Graden an, ist also links stets linksgekrümmt und rechts stets rechtsgekrümmt. Die Funktion hat aber keinerlei Wendestellen, weil zwischen den drei unterschiedlichen Krümmungsbereichen Pole liegen.
Und jetzt [mm] \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} [/mm] . Gleiche Polstellen, ganz ähnliches Verhalten außerhalb der Polstellen. Zwischen den Polstellen schmiegt sie sich aber ins positive an x=-1 und ins negative an x=1 an. Links ist sie rechtsgekrümmt, rechts ist sie linksgekrümmt. Zwischen den beiden Polstellen hat mal also sowohl links- als auch rechts-krümmung, und da es dort sonst nichts aufregendes gibt, muß es eine Wendestelle geben.
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