Wellengleichung andere Eichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 19.08.2011 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Was passiert mit der Wellengleichung für [mm] \vec{A} [/mm] und [mm] \phi, [/mm] wenn man anders als mit der Lorenz-Eichung eicht? Breiten sich [mm] \vec{E} [/mm] und [mm] \vec{B} [/mm] dann noch als Wellen aus? |
Hi!
Bin mir noch nicht so ganz im klaren ob ich die Aufgabe richtig verstehe...
Mein Ansatz wäre da ich sonst nur noch die Coulomb-Eichung kenne, bei der [mm] $\nabla \vec{A} [/mm] = 0$ gilt, diese mal anstatt der Lorenz-Eichung zu verwenden...
Es gilt das Gaußsche Gesetz:
[mm] \vec{\nabla} \vec{E} [/mm] = [mm] \frac{\rho}{\varepsilon}
[/mm]
und aus dem Faradayschen Induktionsgesetz folgt:
[mm] \vec{E}=-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\pratial t}
[/mm]
und somit:
[mm] -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla}\vec{A}=\frac{\rho}{\varepsilon}
[/mm]
aus dem amperschen Gesetz folgt:
[mm] \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\left(\vec{j}+\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)
[/mm]
...
[mm] \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A}-\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left(-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\mu\vec{j}
[/mm]
jetzte hängt es ein bisschen...
Also wenn (nach Coulomb-Eichung) [mm] \vec{\nabla{A}} [/mm] = 0 gilt dann passiert folgendes:
[mm] -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial}{\partial t} \underbrace{\vec{\nabla}\vec{A}}_{=0}=\frac{\rho}{\varepsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\nabla^{2}\phi=\frac{\rho}{\varepsilon}
[/mm]
und
[mm] \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla}\vec{A}}_{=0})-\nabla^{2}\vec{A}-\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left(-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\mu\vec{j}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\nabla^{2}\vec{A}-\mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left(-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\mu\vec{j}
[/mm]
genau genommen wäre in der letzten Gleichung das [mm] \nabla^2\vec{A} [/mm] doch auch =0 oder?
Was gibt es jetzt noch zu tun? Kann man jetzt schon sehen ob sich E und B Wellenförmmig ausbreiten?
Keine Ahnung :(
Danke schonmal im voraus und Gruß
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 20.08.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Weder E noch B ändern sich, wenn du eine andere Eichung wählst. Drücke E und B durch A und [mm] $\Phi$ [/mm] aus und führe eine allgemeine Eichtransformation durch: die zusätzlichen Terme fallen weg.
Viele Grüße
Rainer
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