www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Wellengleichung
Wellengleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wellengleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 05.06.2005
Autor: MisterMarc

ich hab da mal eine Frage

f und g sind zweimal stetig- differenzierbar auf  [mm] \IR [/mm] und

u(x,y) = f(x-ay) + g(x+ay) mit a > 0

hieraus erhalte ich ja, dass

[mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}} [/mm] =  [mm] a^{2} \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}} [/mm]

das habe ich ja herausbekommen, nun soll man aber zeigen, dass

[mm] \bruch {\partial^{2}v}{\partial n \partial m} [/mm] = 0

für m = x-ay und n = x+ay und v(m,n)=u(x,y)

dazu soll man [mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}} [/mm] und [mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}} [/mm] in Abhängigkeit von v, m und n berechnen,

ich weiß leider nicht so richtig wie man das macht

kann mir wer helfen, das wäre sehr nett



        
Bezug
Wellengleichung: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 So 05.06.2005
Autor: MathePower

Hallo,

> u(x,y) = f(x-ay) + g(x+ay) mit a > 0
>  
> hieraus erhalte ich ja, dass
>
> [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}[/mm] =  [mm]a^{2} \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}[/mm]
>  
> das habe ich ja herausbekommen, nun soll man aber zeigen,
> dass
>  
> [mm]\bruch {\partial^{2}v}{\partial n \partial m}[/mm] = 0
>  
> für m = x-ay und n = x+ay und v(m,n)=u(x,y)
>  
> dazu soll man [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}[/mm] und
> [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}[/mm] in Abhängigkeit von
> v, m und n berechnen,

ich denke, das ist so gemeint:

[mm]v\left( {m,\;n} \right)\; = \;u\left( {x\left( {m,\;n} \right),\;y\left( {m,\;n} \right)} \right)[/mm]

Dann ergeben sich die partiellen Ableitungen nach der Kettenregel wie folgt:

[mm] \begin{gathered} v_{m} \; = \;u_{x} \;x_{m} \; + \;u_{y} \;y_{m} \hfill \\ v_{n} \; = \;u_{x} \;x_{n} \; + \;u_{y} \;y_{n} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Die zweiten partiellen Ableitungen sehen dann so aus:

[mm] \begin{gathered} v_{mm} = \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }} {{\delta x}}\;x_m \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }} {{\delta y}}\;y_m \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}} {{\delta m^2 }}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}} {{\delta m^2 }} \hfill \\ v_{mn} = \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }} {{\delta x}}\;x_n \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }} {{\delta y}}\;y_n \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}} {{\delta m\delta n}}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}} {{\delta m\delta n}} \hfill \\ v_{nn} = \;\frac{{\delta u_x \;x_n \; + \;u_y \;y_n }} {{\delta x}}\;x_n \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_n \; + \;u_y \;y_n }} {{\delta y}}\;y_n \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}} {{\delta n^2 }}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}} {{\delta n^2 }} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Um das jetzt auszurechnen, mußt Du x und y in Abhängigkeit von m und n darstellen, also x=x(m,n); y=y(m,n).

Wahrscheinlich ist es hier besser, diese Funktion zu verwenden:

[mm]v\left( {m\left( {x,\;y} \right),\;n\left( {x,\;y} \right)} \right)\; = \;u\left( {x,\;y} \right)[/mm]

Das Schema hier ist das gleiche.

Gruß
MathePower


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]