Wellen- und Wärmeleitungsglg < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 16.06.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass f: [mm] \IR \times \IR^3 \backslash{0} \to \IR: (t,\vec{x} )\mapsto \bruch{cos(r-t)}{r} [/mm] mit [mm] r(\vec{x}) [/mm] := [mm] \parallel \vec{x} \parallel [/mm] eine Lösung der Wellengleichung ist.
b) Eine weitere wichtige Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung. Sie lautet
[mm] \Delta_{x}T-\bruch{\partial T}{\partial t}=0,
[/mm]
wobei f eine Funktion von Ort und Zeit ist und die Temperatur beschreibt.
Finden Sie die stationäre Lösung der Wellengleichung fur die Temperaturverteilung des Stabs, dabei sei die Dicke des Stabs
vernachlässigbar, der Ort also als reelles Interval [0; l] vereinfacht.( l sei die Länge des Stabs) |
Hallo an alle,
erstmal noch ein paar Hinweise:
[mm] \Delta_{x} [/mm] bedeutet hier,dass man den Operator nur bezüglich des Ortes ausrechnet und dabei die Zeit t punktweise als konstant betrachtet.
zu a): Für die Wellengleichung gilt ja:
[mm] \bruch{\partial^2 T}{\partial t^2} [/mm] = [mm] \Delta_{x}f
[/mm]
Jetzt muss ich doch eigentlich nichts machen außer die obige Funktion f zweimal nach t zu differenzieren oder?
Als Lösung hätte ich dann wenn ich mich nicht verrechnet habe:
-1/r cos(r-t)
Aber was genau sagt mir das jetzt?
Und muss ich nicht auch noch 2 mal nach r partiell ableiten?
Eigentlich sagt das die Formel ja nicht.
Irgendwie scheint mir die Aufgabe von mir nicht so richtig gelöst zu sein,denn das kann doch nicht alles gewesen sein?
Hätte mir jemand einen Korrekturvorschlag?
zu b):Hier weiß ich nicht genau wie ich ansetzen muss.Wir hatten auch noch nie ein Beispiel in der Vorlesung.
Auf was will ich überhaupt kommen und mit was fang ich dazu an?
Vielen Dank für eure Unterstützung!
Grüße
Lati
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 16.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Lati
In $r$ stecken die raeumlichen Koordinaten drinn, da [mm] $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.
[/mm]
Am besten verwendest du den ![[]](/images/popup.gif) Laplace Operator in Kugelkoordinaten, da deine Funktion nur von r abhaengt. Der Laplaceoperator lautet dann [mm] $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\mbox{ Terme in Ableitungen nach den Winkeln}$.
[/mm]
zu b) wuerde ich sagen, dass die stationaere Loesung eine konstante Temperaturverteilung ist.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 16.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hallo moudi,
danke für deine Antwort. Aber leider versteh ich bei fast allem nicht was du genau meinst.
Wo hast du denn den Laplace-Operator plötzlich her und was hat das mit der Aufgabe zu tun? In dem Hinweis stand doch nicht dass [mm] \Delta [/mm] als Laplace-Operator zu interpretieren sei oder?
Und meinst du dass ich jetzt einfach mit der von dir genannten Formel arbeiten soll und dort f einsetzen oder wie?
zu b)
Ok jetzt weiß ich durch deinen Hinweis, dass es sich um eine konstante Temperaturverteilung handeln muss,aber was hilft mir das jetzt für die Aufgabe?
Vielen Dank für deine Mühe!
Lati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 16.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Lati
Eigentlich bedeute [mm] $\Delta$ [/mm] im Normalfall immer der Laplaceoperator, in cartesichen Koordinaten ist es
[mm] $\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}$ [/mm]
und fuer die Wellengleichung muss es der Laplaceoperator sein.
Du kannst auch mit den kartesichen Koordinaten rechnen.
[mm] $\dfrac{\cos(r-t)}{r}=\dfrac{\cos(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}-t)}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}$.
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Di 16.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi moudi,
ok stimmt jetzt hab ich's auch kapiert. Kannst du mir jetzt dann trotzdem nochmal genau schreiben was ich jetzt machen muss?Und ob das dann auch reicht? Und welche Gleichheit ich am Ende zeigen muss?
Wäre echt sehr nett!
Danke!
Gruß
Lati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 16.06.2009 | | Autor: | moudi |
Jetzt musst du bei a) ueberpruefen, dass die genannte Funktion die Wellengleichung erfuellt.
Also fuer [mm] f(t,x_1,x_2,x_3)=\dfrac{\cos(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}-t)}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}$ [/mm] muss gelten
[mm] $\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} [/mm] $
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi moudi,
ich hab das ganze jetzt durchgerechnet und es kam das richtige raus!Vielen Dank!
War wirklich sehr verständlich erklärt.
Könntest du mir vielleicht jetzt noch bei der b) helfen?
Muss ich hier erstmal allgemein anfangen und [mm] \Delta_{x}T [/mm] - [mm] \bruch{\partial T}{\partial t} [/mm] berechnen?
Für eine stationäre Lösung muss doch auch gelten [mm] \Delta_{x}T [/mm] = 0 oder?
Aber ohne die Funktion T zu wissen ist das alles doch recht schwierig oder?
Oder brauch ich zuerst die Lösung und muss dann nur durch einsetzen überprüfen?
Wenn letzteres der Fall ist wie komm ich dann auf diese Lösung?
Vielen Dank!
Grüße
Lati
|
|
|
| |
|
Hallo Lati,
stationär bedeutet [mm] $\bruch{d}{dt}=0$
[/mm]
In der Gleichung fehlt übrigens noch der Wärmeleitungskoeffizient k.
Wenn $T = [mm] f(\vec{x}, [/mm] t)$, dann ist sie im stationären Fall nur noch [mm] $f(\vec{x})$.
[/mm]
Die stationäre Lösung ist die Laplace-Gleichung:
[mm] $\summe_{i=1}^{3}k*\bruch{\partial T^2(\vec{x}, t)}{\partial x_{i}^2}=0$
[/mm]
Da die Dicke vernachlässigbar ist und nur in eine Raumdimendion integriert werden muss:
[mm] $\bruch{\partial T^2(x_2, t)}{\partial x_{2}^2}=0$
[/mm]
Normalerweise hätt ich jetzt TdV vorgeschlagen, aber das taugt hier ja nichts. Und für das "Entwickeln" bin ich zu wenig Mathematiker ;) Ab hier geb ich ab.
Gruß
Slartibartfast
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 17.06.2009 | | Autor: | moudi |
In einer Dimension z.B. [mm] $x_1$ [/mm] und stationaer, das heisst Zeitunabhaengig reduziert sich
die Waermeleitungsgleichung zu einer gewoehnlichen Differentialgleichung
[mm] $\frac{d^2f}{dx_1^2}=0$ [/mm] mit Loesung [mm] $f(x_1)=ax_1+b$ [/mm] eine lineare Funktion in [mm] $x_1$
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
danke für eure Tipps.
Ist also [mm] ax_{1}+b [/mm] jetzt schon die von mir gesuchte Lösung?Muss ich a und b jetzt noch genauer bestimmen oder kann das so allgemein gehalten werden?
Und ist jetzt meine Behauptung, dass [mm] ax_{1}+b [/mm] meine Lösung ist und ich zeige das nun indem ich diese Funktion 2 mal ableite. Und ich mein dass das 0 ergibt ist ja offensichtlich.
@moudi: Könntest du mir vllt nochmal erklären warum sich die Gleichung jetzt genau auf [mm] \frac{d^2f}{dx_1^2}=0 [/mm] reduziert?
Vielen Dank u viele Grüße
Lati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mi 17.06.2009 | | Autor: | moudi |
Da die Dicke des Stabes vernachlaessigt wird, hat er nur eine Aussdehnung in einer Richtung z.B. [mm] $x_1$. [/mm] Dann gibt es aber in den anderen Richtungen nichts abzuleiten. [mm] $f(t,x_1,x_2,x_3)$ [/mm] ist dann nur eine Funktion von [mm] $t,x_1$ [/mm] sie reduziert sich zu [mm] $f(t,x_1)$ [/mm] und da sie stationaer ist nur auf eine Funktion [mm] $f(x_1)$. [/mm]
Deshalb sind dann die partiellen Ableitungen nach $t, [mm] x_2, x_3$ [/mm] alle gleich 0. Ergo erhaelt man fuer
[mm] $\Delta_x f=\frac{\partial f}{\partial d}$ [/mm] nur noch [mm] $f''(x_1)=0$.
[/mm]
Die DGL [mm] $f''(x_1)=0$ [/mm] kann man zwei mal integrieren und erhaelt [mm] $f(x_1)=ax_1+b$ [/mm] mit zwei Integrationskonstanten $a$ und $b$. Diese Konstanten ergeben sich normalerweise aus den Randbedingungen, die hier aber nicht gegeben sind, deshalb kannst du sie auch nicht bestimmen.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Lati |
Vielen Dank!Jetzt hab ich das verstanden!Danke!
Noch eine letzte Frage,dann hör ich auf dich zu nerven :
Und zwar: Was wären denn zum Beispiel solche Randbedingungen?
Weil in der Aufgabe ist ja zum Beispiel das Interval [0,l](l ist ja die Länge des Stabs) als der Ort gegeben. Das hat nichts mit den Randbedingungen zu tun?
Viele Grüße
Lati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 17.06.2009 | | Autor: | moudi |
Habe also der Stab die Laenge l und die Funktion [mm] $f(x_1)$ [/mm] sei gesucht fuer [mm] $0\leq x_1\leq [/mm] l$. Damit die Loesung stationaer ist, muessen die Randbedingungen auch stationaer sein (d.h. zeitlich konstant). Sei die Temperatur am linken Ende [mm] $T_1$ [/mm] und am Rechten Ende [mm] $T_2$. [/mm] Dann muss also die Funktion [mm] $f(x_1)=ax_1+b$ [/mm] die Randbedingungen [mm] $f(0)=T_1$ [/mm] und [mm] $f(l)=T_2$, [/mm] das ergibt ein Gleichungssystem fuer a und b
[mm] $f(0)=T_1$: $b=T_1$
[/mm]
[mm] $f(l)=T_2$: $al+b=T_2$
[/mm]
mit der Loesung [mm] $a=\frac{T_2-T_1}l$ [/mm] und [mm] $b=T_1$.
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Lati |
Hi moudi,
ok jetzt ist alles klar!Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe!
Viele Grüße
Lati
|
|
|
|
