Welche x: cos(4x)=cos(2x) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mo 31.10.2005 | | Autor: | neron |
Hallo
Ich habe eine kleine Frage. Wie finde ich am "besten" heraus
welches x [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt für Cos(4x)=Cos(2x)?
mfg
neron
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 01.11.2005 | | Autor: | neron |
Hi
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hab die 2 Lösungen für x nun berechnet (x1=1,618;x2=-0,618)
Aber was bedeutet das nun bzw. was is noch zu tun?
mfg
Neron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Di 01.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo neron!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da musst Du Dich aber irgendwo verrechnet haben.
Ich erhalte: [mm] $z_1 [/mm] \ = \ 1$ sowie [mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] $2*x_1 [/mm] \ = \ [mm] \arccos(1)$ $\gdw$ $2*x_1 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $x_1 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $2*x_2 [/mm] \ = \ [mm] \arccos\left(-\bruch{1}{2}\right)$ $\gdw$ $2*x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}\pi$ $\gdw$ $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}$
[/mm]
Dabei ist jetzt aber noch nicht berücksichtigt, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt, da die cos-Funktion periodisch ist.
Wurde die Definitionsmenge für $x_$ gemäß Aufgabenstellung eingeschränkt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Di 01.11.2005 | | Autor: | neron |
Ja, einen dummen Schlampigkeitsfehler hab ich begangen :)
Komme nun auch auf 1 bzw. -1/2.
Bezüglich Beschränkung: Es hieß nur welche x $ [mm] \varepsilon \IR [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich denke mal die "Frage" hat sich mittlerweile erledigt durch Leopolds Reaktionen...
Liebe Grüße
Stefan
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Aus [mm]\cos{s} = \cos{t}[/mm] folgt:
[mm]s = t + 2k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ \text{oder} \ \ \ s = -t + 2k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
Die Gleichungen berücksichtigen die Periodizität sowie Geradheit des Cosinus. Und jetzt ist [mm]s=4x, t=2x[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 01.11.2005 | | Autor: | neron |
Hi Leopold
Danke für deine Hilfe, aber für mich als Nicht-Mathematiker is deine Erklärung leider nicht verständlich. Selbst nach mehrmaligem durchlesen habe ich nichts verstanden. Tut mir leid.
Gruß
Neron
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Der Cosinus ist periodisch mit der Periode [mm]2 \pi[/mm], z.B.
[mm]\cos{\left( \frac{1}{7} \, \pi \right)} = \cos{\left( \frac{15}{7} \, \pi \right)}[/mm]
[mm]s = \frac{1}{7} \, \pi[/mm] und [mm]t = \frac{15}{7} \, \pi[/mm] unterscheiden sich eben um [mm]2 \pi[/mm]:
[mm]s = t - 2 \pi[/mm]
Und immer wieder kann man im Argument [mm]2 \pi[/mm] addieren oder subtrahieren, ohne daß sich der Cosinus ändert. Das wird durch
[mm]s = t + 2 k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
ausgedrückt.
Darüberhinaus ist der Cosinus gerade (Schaubild symmetrisch zur [mm]y[/mm]-Achse). Eine Vorzeichenänderung im Argument ändert also den Cosinuswert nicht, z.B.
[mm]\cos{\left( \frac{13}{9} \, \pi \right)} = \cos{\left( - \frac{13}{9} \, \pi \right)}[/mm]
Die Argumente [mm]s = \frac{13}{9} \, \pi \right)[/mm] und [mm]t = - \frac{13}{9} \, \pi \right)[/mm] haben den gleichen Betrag, aber unterschiedliches Vorzeichen:
[mm]s = -t[/mm]
Daß man wieder beliebig oft [mm]2 \pi[/mm] addieren oder subtrahieren kann, wird dann durch
[mm]s = -t + 2 k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
zum Ausdruck gebracht.
Hierbei sind jetzt alle Mehrdeutigkeiten berücksichtigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 03.11.2005 | | Autor: | neron |
Wow, vielen Dank, jetzt dürfte es auch zu mir durchgedrungen sein!
Wenn ich nun für t bzw. s entsprechend 2x bzw. 4x einsetze, dann kann ich für k (als Element aus den Ganzen Zahlen) beliebige Werte einsetzen und ich erhalte die x, für die cos(4x)=cos(2x) zutrifft?
Stimmt das so?
Mit freundlichen Grüßen
Neron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo neron!
Ja, das ist richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Daraus erhältst du dann
[mm] $4x=2x+2k\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
oder
$4x = -2x + 2k [mm] \pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$),
[/mm]
also:
$x = [mm] k\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
oder
$x = [mm] \frac{k\pi}{3}$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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p/q-Formel