Weierstraß'sche p-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 28.10.2015 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Jede gerade elliptische Funktion f, die die 0 weder als Nullstelle noch als Polstelle hat, lässt sich schreiben als:
[mm] f(z)=k\produkt_{j=1}^{n}(\bruch{p(z)-p(a_{j})}{p(z)-p(b_{j})}) [/mm] mit [mm] k\in\IC\backslash\{0\}
[/mm]
wobei [mm] \pm\\a_{1} [/mm] , ... , [mm] \pm\\a_{n} [/mm] die Nullstellen sind und [mm] \pm\\b_{1} [/mm] , ... , [mm] \pm\\b_{n} [/mm] die Polstellen (mit Vielfachheit aufgelistet) |
Hallo. Man kann leicht nachweisen, dass der Ausdruck links und der Ausdruck rechts die selben Null- und Polstellen hat. Wie bringt mich das weiter im Bezug auf die Aufgabe? Bzw. bringt mich das denn überhaupt weiter? Das einzige was mir einfiele wäre, dass wir beide seiten nun als quatient zweier produkte auffassen können, ginge das so einfach? oder fehlt mir da noch irgendwas?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mi 28.10.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jede gerade elliptische Funktion f, die die 0 weder als
> Nullstelle noch als Polstelle hat, lässt sich schreiben
> als:
>
> [mm]f(z)=k\produkt_{j=1}^{n}(\bruch{p(z)-p(a_{j})}{p(z)-p(b_{j})})[/mm]
> mit [mm]k\in\IC\backslash\{0\}[/mm]
> wobei [mm]\pm\\a_{1}[/mm] , ... , [mm]\pm\\a_{n}[/mm] die Nullstellen sind
> und [mm]\pm\\b_{1}[/mm] , ... , [mm]\pm\\b_{n}[/mm] die Polstellen (mit
> Vielfachheit aufgelistet)
>
> Hallo. Man kann leicht nachweisen, dass der Ausdruck links
> und der Ausdruck rechts die selben Null- und Polstellen
> hat. Wie bringt mich das weiter im Bezug auf die Aufgabe?
Ja.
Teile $f(z)$ durch das Produkt (ohne $k$). Das Ergebnis sollte ja gleich $k$ sein (zumindest überall wo keine Null- und Polstellen vorliegen).
Nun kannst du dich davon überzeugen, dass der Quotient an allen potentiellen Polstellen holomorph fortsetzbar ist. Somit hast du eine holomorphe elliptische Funktion (warum?). Jetzt habt ihr vermutlich einen Satz der etwas über solche Funktionen sagt...
LG Felix
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