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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 22.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | "We may say that two points in a domain(nicht leere offene Menge in [mm] \mathbb{C}) [/mm] U are equivalent if the can be joined by a path in U. This defines an equivalence realation in U. The equivalende classes are called the connected components of U. Every connected component is a region(Gebiet). A domain has at most countably many connected components. Indeed every domain [mm] U\subseteq \mathbb{C} [/mm] has a countable dense subset (e.g. U [mm] \cap \mathbb{Q}^2) [/mm] and thus is a countable union of open disks [mm] D_i." [/mm] |
Hallo,
Mir fehlt ein Beweis zu den letzten beiden Sätzen:
1) Eine offene nicht leere Menge U hat höchstens abzählbar viele Weg-Zusammenhangskomponenten:
Bew.: Jede Weg-Zusammenhangskomponenten von U ist offen weil sie ein Gebiet ist(Beweis schon gezeigt). Sei [mm] C_x [/mm] die Weg-Zusammenhangskomponente von x [mm] \in \mathbb{C}.
[/mm]
Wenn ich [mm] \mathbb{C} [/mm] mit [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] identifiziere:
[mm] \{\mathcal{B}_{1/n} (q_1) \times \mathcal{B}_{1/n} (q_2)| (q_1, q_2)=:q \in \mathbb{Q}^2, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis von [mm] \mathbb{R}^2 [/mm]
[mm] \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb{N},\exists q:=(q_1,q_2) \in \mathbb{Q}^2: [/mm] x [mm] \in \mathcal{B}_{1/n} (q_1) \times \mathcal{B}_{1/n} (q_2) \subseteq C_x
[/mm]
D.h. ein Element der Form [mm] (q_1, q_2) \in [/mm] U mit [mm] q_1, q_2 \in \mathbb{Q} [/mm] liegt in [mm] C_x
[/mm]
[mm] \mathbb{Q}^2 [/mm] ist abzählbar.
Da die Zusammenhangskomponenten Äquivalenzklassen sind, kann ein Element [mm] (q_1, q_2) [/mm] mit [mm] q_1,q_2 \in \mathbb{Q} [/mm] jeweils nur in GENAU EINER solchen Zusammenhangskomponente liegen. [mm] \Box
[/mm]
2) Jede offene nicht leere Menge U [mm] \subseteq \mathbb{C} [/mm] hat eine abzählbare dichte Teilmenge, die eine abzählbare Vereinigung offener Kreisscheiden darstellt.
Bew.:
[mm] \mathbb{Q}^2 \cap [/mm] U ist eine abzählbare Menge in U
ZZ.: [mm] \overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }=U
[/mm]
Hier stecke ich etwas, ich weiß [mm] \overline{\mathbb{Q}}= \mathbb{R}. [/mm] Aber beim sauberen Aufschreiben des Beweises zu [mm] \overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }=U [/mm] happert es.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> "We may say that two points in a domain(nicht leere offene
> Menge in [mm]\mathbb{C})[/mm] U are equivalent if the can be joined
> by a path in U. This defines an equivalence realation in U.
> The equivalende classes are called the connected components
> of U. Every connected component is a region(Gebiet). A
> domain has at most countably many connected components.
> Indeed every domain [mm]U\subseteq \mathbb{C}[/mm] has a countable
> dense subset (e.g. U [mm]\cap \mathbb{Q}^2)[/mm] and thus is a
> countable union of open disks [mm]D_i."[/mm]
> Hallo,
> Mir fehlt ein Beweis zu den letzten beiden Sätzen:
>
> 1) Eine offene nicht leere Menge U hat höchstens
> abzählbar viele Weg-Zusammenhangskomponenten:
>
> Bew.: Jede Weg-Zusammenhangskomponenten von U ist offen
> weil sie ein Gebiet ist(Beweis schon gezeigt). Sei [mm]C_x[/mm] die
> Weg-Zusammenhangskomponente von x [mm]\in \mathbb{C}.[/mm]
> Wenn ich
> [mm]\mathbb{C}[/mm] mit [mm]\mathbb{R}^2[/mm] identifiziere:
> [mm]\{\mathcal{B}_{1/n} (q_1) \times \mathcal{B}_{1/n} (q_2)| (q_1, q_2)=:q \in \mathbb{Q}^2, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis von [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
> [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \mathbb{N},\exists q:=(q_1,q_2) \in \mathbb{Q}^2:[/mm]
> x [mm]\in \mathcal{B}_{1/n} (q_1) \times \mathcal{B}_{1/n} (q_2) \subseteq C_x[/mm]
>
> D.h. ein Element der Form [mm](q_1, q_2) \in[/mm] U mit [mm]q_1, q_2 \in \mathbb{Q}[/mm]
> liegt in [mm]C_x[/mm]
> [mm]\mathbb{Q}^2[/mm] ist abzählbar.
> Da die Zusammenhangskomponenten Äquivalenzklassen sind,
> kann ein Element [mm](q_1, q_2)[/mm] mit [mm]q_1,q_2 \in \mathbb{Q}[/mm]
> jeweils nur in GENAU EINER solchen Zusammenhangskomponente
> liegen. [mm]\Box[/mm]
Das ist O.K.
>
> 2) Jede offene nicht leere Menge U [mm]\subseteq \mathbb{C}[/mm] hat
> eine abzählbare dichte Teilmenge, die eine abzählbare
> Vereinigung offener Kreisscheiden darstellt.
> Bew.:
> [mm]\mathbb{Q}^2 \cap[/mm] U ist eine abzählbare Menge in U
> ZZ.: [mm]\overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }=U[/mm]
> Hier stecke ich
> etwas, ich weiß [mm]\overline{\mathbb{Q}}= \mathbb{R}.[/mm] Aber
> beim sauberen Aufschreiben des Beweises zu
> [mm]\overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }=U[/mm] happert es.
Das geht mir genauso ! Denn [mm]\overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }=U[/mm] ist einfach falsch !
Grund: [mm] \overline{\mathbb{Q}^2 \cap U } [/mm] ist abgeschlossen, aber U ist offen.
Zu zeigen ist $ U [mm] \subseteq \overline{\mathbb{Q}^2 \cap U }$
[/mm]
FRED
>
> LG,
> sissi
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