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| Aufgabe | Die Weglängenfunktion einer rektifizierbaren Kurve f: [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] ist gegeben durch:
[mm] L_{f}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR, L_{f}(t) :=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{ Falls} t=a \\
L(f|_{[a,t]}), & \mbox{Falls } t \in (a,b]
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeige: Ist f: [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] eine stetig differenzierbare Kurve, dann ist auch die Weglängenfunktion [mm] L_{f} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig differentierbar und es gilt
[mm] L_{f}'(t) [/mm] = [mm] \left|\left|f'(t)\right|\right|_{2} [/mm] für alle [mm] t\in(a,b) [/mm] |
Hallo,
wir hatten einen Satz in der Vorlesung der besagt dass f rektifizierbar ist falls f stetig differenzierbar ist mit L = [mm] \int_{a}^{b} \left|\left|f'(t)\right|\right|dt
[/mm]
Ich glaube auch in Erinnerung zu haben dass alle Normen stetig sind.
Könnte ich nun mit dem Hauptsatz der Differential/Integralrechnung argumentieren
dass L = [mm] \int_{a}^{b} \left|\left|f'(t)\right|\right|dt [/mm] auf dem Intervall [a,b] differenzierbar ist und damit auch stetig oder liege ich da falsch.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Weglängenfunktion einer rektifizierbaren Kurve f:
> [a,b] [mm]\to \IR^n[/mm] ist gegeben durch:
> [mm]L_{f}:[/mm] [a,b] [mm]\to \IR, L_{f}(t) :=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{ Falls} t=a \\
L(f|_{[a,t]}), & \mbox{Falls } t \in (a,b]
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Zeige: Ist f: [a,b] [mm]\to \IR^n[/mm] eine stetig differenzierbare
> Kurve, dann ist auch die Weglängenfunktion [mm]L_{f}[/mm] : [a,b]
> [mm]\to \IR[/mm] stetig differentierbar und es gilt
> [mm]L_{f}'(t)[/mm] = [mm]\left|\left|f'(t)\right|\right|_{2}[/mm] für alle
> [mm]t\in(a,b)[/mm]
> Hallo,
>
> wir hatten einen Satz in der Vorlesung der besagt dass f
> rektifizierbar ist falls f stetig differenzierbar ist mit L
> = [mm]\int_{a}^{b} \left|\left|f'(t)\right|\right|dt[/mm]
Ja, mit obiger Bez. ist dann
$ [mm] L_f(b)=\int_{a}^{b} \left|\left|f'(t)\right|\right|dt$
[/mm]
> Ich
> glaube auch in Erinnerung zu haben dass alle Normen stetig
> sind.
> Könnte ich nun mit dem Hauptsatz der
> Differential/Integralrechnung argumentieren
> dass L = [mm]\int_{a}^{b} \left|\left|f'(t)\right|\right|dt[/mm]
> auf dem Intervall [a,b] differenzierbar ist und damit auch
> stetig oder liege ich da falsch.
Dein obiges L ist eine Zahl !!
Es ist [mm] $L_f(t)=\int_{a}^{t} \left|\left|f'(s)\right|\right|ds$
[/mm]
Jetzt kannst Du den Hauptsatz und die stetigkeit der Norm bemühen.
FRED
>
> Gruß
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| Aufgabe | | Zeige: ist f: [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] eine stetig differenzierbare, reguläre Kurve der Länge L, dann ist [mm] L_{f}: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] [0,L] eine differenzierbare Parametertransformation und für die transformierte Kurve g ; [0,L] [mm] \to \IR^n [/mm] mit g = f [mm] \circ L^{-1}_{f} [/mm] gilt [mm] L_{g}(s) [/mm] = s für alle s [mm] \in [/mm] [0,L] |
Hallo, bei der 2. Teilaufgabe komme ich überhaupt nicht weiter.
Ich hab in allen Büchern nach Definition der Parametertransformation geschaut und anscheinend verstehe ich diese falsch. Nach definition muss [mm] L^{-1} [/mm] die Transformation sein , denn laut Definition ist: (Forster Analysis 2)
Sei f: [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] eine Kurve, [mm] [\alpha,\beta] \subset \IR [/mm] ein weiteres Intervall und
[mm] \phi: [\alpha,\beta] \to [/mm] [a,b]
eine bijektive stetige Abbildung, dann ist die zusammengesetzte Abbildung
g:= [mm] f\circ\phi [/mm] : [mm] [\alpha,\beta] \to \IR^n [/mm] wieder eine Kurve. Man sagt das die Kurve g aus der Kurve f durch die Parametertransformation [mm] \phi [/mm] hervorgeht. ...
Könnte mir bitte jemand was dazu sagen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht verstehst du es an einem Bsp [mm] [0,\wurzel{2\pi}]->\IR^2
[/mm]
[mm] f(t)=\vektor{cos(t^2) \\ sin(t^2)} t\in[0,\wurzel{2\pi}]
[/mm]
[mm] L_f(t)=\integral_{0}^{t}{2\tau d\tau}=t^2=s
[/mm]
[mm] g(s)=(f(L^{-1})=\vektor{cos(s) \\ sin(s)} s\in[0,2\pi]
[/mm]
[mm] L_g(s)=\integral_{0}^{s}{1 ds'}=s
[/mm]
gruss leduart
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Anschaulich ist mir das klar, aber die Definition verwirrt mich,
In diesem Beispiel ist f: [mm] [0,\wurzel{2\pi}] \to \IR^2
[/mm]
Wenn [mm] L_{f} [/mm] jetzt die Parametertransformation ist, dann soll es doch von [mm] [\alpha,\beta] \to [0,\wurzel{2\pi}] [/mm] gehen, das verstehe ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein die Transformation läuft hier von [mm] [a,b]=[0,[0,\wurzel{2\pi}]] [/mm] nach [mm] [0,L]=[0,2\pi]vda [/mm] wor ja [mm] L(t)=t^2
[/mm]
wenn es dich stort dass beides bei 0 anfaängt lass t von [mm] [\wurzel{2\pi},\wurzel{4\pi}] [/mm] laufen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 07.12.2012 | | Autor: | helicopter |
Vielen Dank für eure Hilfe,
Die ii) hab ich trotzdem nicht kapiert, werde wohl bis nächste Woche warten müssen, dann wird die besprochen.
Gruß
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