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Hallo Zusammen  ,
ich möchte folgendes Wegintergral berechnen:
[mm] \integral_{\gamma}{\overline{z}*dz}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] den Einheitskreis von z=1 nach z=1 im mathematisch positiven Sinne durchläuft.
Den Einheitskreis kann man ja in Polarkoordinaten bzw. der Eulerform darstellen. Daher könnte [mm] \gamma(t) [/mm] ja zwei Formen haben:
[mm] \gamma(t)=e^{i*t}=cos(t)+i*sin(t) [/mm] und wegen der Forderung "im mathematisch positiven Sinne" muss [mm] t\in(0;2\pi)
[/mm]
Das bedeutet für das Integral, dass prinzipell zwei Rechenwege möglich sind:
Weg 1:
[mm] \integral_{\gamma}{\overline{z}*dz} [/mm] mit [mm] \gamma(t)=e^{i*t}, t\in(0,2\pi)
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{\overline{z}*dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\overline{e^{i*t}}*\bruch{1}{i}*e^{i*t}*dt}=\integral_{0}^{2\pi}{e^{-i*t}*(-i)*e^{i*t}*dt}=\integral_{0}^{2\pi}-i*dt=-i*\[/mm] [t][mm] _{0}^{2\pi}=-2*\pi*i
[/mm]
Weg 2
[mm] \integral_{\gamma}{\overline{z}*dz} [/mm] mit [mm] \gamma(t)=cos(t)+i*sin(t), t\in(0,2\pi)
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{\overline{z}*dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\overline{(cos(t)+i*sin(t))}*(-sin(t)+i*cos(t))}=\integral_{0}^{2\pi}{(cos(t)-i*sin(t))*(-sin(t)+i*cos(t))}=\integral_{0}^{2\pi}{-cos(t)*sin(t)+i*cos^{2}(t)+i*sin^{2}(t)-i^{2}*sin(t)*cos(t)}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{i*(cos^{2}(t)+sin^{2}(t))-cos(t)*sin(t)+cos(t)*sin(t)}=\integral_{0}^{2\pi}{i}=2*\pi*i
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht welches Ergebnis richtig ist.... Eigentlich müssten doch die selben Ergebnisse rauskommen. Aber einen Rechenfehler finde ich auch nicht bei den beiden Wegen.... Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich sehr freuen
Beste Grüße
Kano
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