Weg-Zeit-Verlauf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 01.05.2014 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Die Geschwindigkeit eines Verfolgungsfahrzeuges wird so geregelt, dass sie stets proportional zu dem Abstand zum verfolgten Fahrzeug ist, wobei dem Abstand L die Geschwindigkeit V entspricht. Zur Zeit t = 0 wird das (stehende) Verfolgungsfahrzeug von einem Fahrzeug der konstanten Geschwindigkeit 2V überholt und nimmt dessen Verfolgung auf.
Berechnen und skizzieren Sie die Zeit-Weg-Verläufe beider Fahrzeuge. |
Ich habe leider keine wirkliche Idee wie ich hier anfangen soll, deswegen wäre ich schon für einen kleinen Tipp/ Ansatz dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 01.05.2014 | | Autor: | jayw |
Folgendes habe ich bisher überlegt (sorry, war schon reserviert :))
Die Proportionalität kann ich ja so ausdrücken: V=k*L, aber den Hinweis L entspricht V verstehe ich in dem Zusammenhang schon nicht ganz.
Weiterhin: als gesucht nenne ich die Funktion y(t), also ist [mm] V=\bruch{dy}{dt} [/mm]. Dann hört es leider auf :)
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> Die Geschwindigkeit eines Verfolgungsfahrzeuges wird so
> geregelt, dass sie stets proportional zu dem Abstand zum
> verfolgten Fahrzeug ist, wobei dem Abstand L die
> Geschwindigkeit V entspricht. Zur Zeit t = 0 wird das
> (stehende) Verfolgungsfahrzeug von einem Fahrzeug der
> konstanten Geschwindigkeit 2V ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") überholt und nimmt dessen
> Verfolgung auf.
Da ist etwas Wichtiges sehr unklar ! Man kann nicht eine
konstante und eine variable Geschwindigkeit beide mit
demselben Symbol V bezeichnen !
> Berechnen und skizzieren Sie die Zeit-Weg-Verläufe beider
> Fahrzeuge.
> Ich habe leider keine wirkliche Idee wie ich hier anfangen
> soll, deswegen wäre ich schon für einen kleinen Tipp/
> Ansatz dankbar!
Hallo jayw,
du brauchst vor allem ein passendes Koordinatensystem
und geeignete Bezeichnungsweisen. Das Koordinatensystem
ist eindimensional, wir brauchen also nur eine Koordinate x.
Nennen wir weiter das mit konstanter Geschwindigkeit
fahrende Fahrzeug mit F, das Verfolgungsfahrzeug mit V
und ihre jeweiligen Positionskoordinaten mit [mm] x_F(t) [/mm] und [mm] x_V(t).
[/mm]
Wir können $\ [mm] x_F(0)\ [/mm] =\ [mm] x_V(0)\ [/mm] :=0$ setzen.
Da ich nun das Symbol V für ein Fahrzeug und als Index
verwende, schlage ich vor, für die konstante Geschwindigkeit
des Fahrzeugs F nicht 2V, sondern z.B. 2U zu schreiben,
wobei U eine gegebene Konstante sein soll.
Nun kannst du für [mm] x_F(t) [/mm] sicher leicht eine Gleichung auf-
stellen. Den Abstand L = L(t) kann man mittels [mm] x_F(t) [/mm] und
[mm] x_V(t) [/mm] darstellen. Für die Größe [mm] x_V(t) [/mm] kommt man damit
auf eine gewisse Differentialgleichung, in welcher auch noch
ein Proportionalitätsfaktor auftritt, der als vorgegebene
Konstante behandelt werden kann.
Viel Vergnügen beim Aufstellen und Lösen der DGL !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 01.05.2014 | | Autor: | jayw |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Da ich mir schon eigene Bezeichnungen überlegt hatte, sind diese nun abweichend von den von dir vorgeschlagenenen, aber bitte schau mal in den Anhang, ob ich damit weiter machen kann:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 01.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo jayw,
ja, das ist ein sinnvoller Ansatz. So kommst Du weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 04.05.2014 | | Autor: | jayw |
Danke, habe jetzt mal weiter gemacht, aber komme irgendwie nicht weiter, bzw. finde den Fehler nicht. Eigentlich sollte das t doch positiv sein?
Siehe Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 04.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
natürlich kannst Du für t einen positiven Wert einsetzen, das verbietet ja keiner.
Bei der Bestimmung der partiellen Lösung ging jedoch was schief.
Der Ansatz ist okay, dann aber bekommt man durch den Koeffizienetenvergleich:
[mm] A = 2V [/mm] und
[mm] B +KA = 0 [/mm] oder auch
[mm] B = - KA = -2VK [/mm]
Aus der Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit des Verfolgers zum Zeitpunkt t = 0 erhält man
[mm] C = 2VK [/mm] und damit insgesamt
[mm] y_2 (t) = 2VKe^{-\bruch{t}{K}} + 2Vt - 2VK [/mm]
bzw.
[mm] y_2^{'}(t) = -2Ve^{-\bruch{t}{K}} +2V [/mm]
Damit sind Ort und Geschwindigkeit von y2 zum Zeitpunkt t = 0 identisch Null wie gewünscht.
VG,
Infinit
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