Wasserstand Staudamm < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mi 26.02.2014 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Ein Stausee hat die Form einer auf dem Kopf stehenden dreieckigen Pyramide.
Beim Auffüllen, als das Wasser die halbe Dammhöhe erreicht
hat, stellt man fest, dass der Wasserstand (momentan)
mit 1/90 der Dammhöhe pro Woche steigt. Angenommen,
dass der auffüllende Wasserstrom (Volumen / Zeit)
konstant bleibt, wie lange dauert es noch, bis das Wasser
die Dammhöhe erreicht? |
Hallo!
Ich bin zunächst davon ausgegangen, das 1/90h/Woche, also das Wachstum der Höhe, die Ableitung von h(t) ist und sich das Volumen mit V=1/3*A*h berechnet.
Allerdings ist ja dann alles zeitabhängig -> V(t)=1/3*A(t)*h(t). Ich komme da irgendwie nicht weiter und wäre dankbar für einen Tipp.
Mfg
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Hallo!
Zunächst einmal kannst du davon ausgehen, daß der volle Damm eine Höhe (bzw Tiefe) [mm] H_0 [/mm] und eine Fläche [mm] A_0 [/mm] hat. Das sind ja die Parameter, die das max. Volumen bestimmen.
Nun, du kannst ein Volumen vorgeben, und die Höhe des Wasserspiegels ausrechnen. Dazu benötigst du die Fläche, welche aber ebenfalls von der Höhe abhängt ( und zwar quadratisch). Dazu kannst du [mm] H_0 [/mm] und [mm] A_0 [/mm] verwenden.
Nunja, leitest du das ganze nach der Zeit ab, steht da die Höhenänderung pro Zeit sowie die Volumenänderung pro Zeit. Letztere ist aber konstant, das ist einfach das Wasser, was aus einem Fluss permanent in den Damm strömt.
Diesen Zustrom kannst du aber ausrechnen, wenn du die angegebene Höhenänderung pro Zeit benutzt. Und dann ist es auch ein leichtes, auszurechnen, wie lange es dauert, den gesamten Damm zu füllen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 27.02.2014 | | Autor: | jayw |
Danke für deine Antwort!
Warum hängt denn die Grundfläche quadratisch von der Höhe der Pyramide ab? Damit komme ich leider nicht weiter :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 27.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du kannst hier verwenden, dass alle geraden quadratischen Pyramiden mit demselben Öffnungswinkel ähnlich zueinander sind.
Wenn also die Pyramide bis zur halben Höhe mit Wasser gefüllt ist, dann ist die Grundkante der Wasserpyramide auch die Hälfte der Grundkante des Tals, das Wasserquadrat ist [mm] (\bruch{1}{2})^2=1/4 [/mm] mal so groß wie die Quadratfläche des Tals und (noch wichtiger für deine Aufgabe :) das Wasservolumen ist gerade [mm] (\bruch{1}{2})^3=1/8 [/mm] mal so groß wie das Volumen des Tals.
Diese Beziehungen gelten auch für nichtquadratische Pyramiden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Fr 28.02.2014 | | Autor: | jayw |
Vielen Dank, schau dir mal bitte meine Rechnung an:
siehe Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 28.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du rechnest falsch:
rechne [mm] A(h)=A_H* h^2/H^2 [/mm] , [mm] A_H [/mm] =Flache bei H also voll
dann V(h)=... und h=h(t)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 28.02.2014 | | Autor: | jayw |
Danke für deine Antwort.
Das verstehe ich nicht. Kannst du vielleicht die gleiche Indizierung benutzen wie ich?
Die Abhängigkeit von A von h habe ich doch berücksichtigt!?
Edit: Habe auch oben noch eine Klammer vergessen, daher lande ich jetzt bei 308 Wochen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Ableitung von A ist falsch.
Es ist nicht [mm] A'(t_0)=(\bruch{1}{90})^2*A(t_s), [/mm] sondern [mm] A'(t_0)=\bruch{1}{90}*A(t_s).
[/mm]
Dass deine Lösung nicht richtig sein kann, folgt schon allein aus Dimensionsgründen, wenn du berücksichtigst, dass der Bruch eigentlich [mm] \bruch{1}{90\mbox{ Wochen}} [/mm] sein sollte. Quadrat-Wochen (sind das die Wochen, wo es bei McDonalds quadratische Burger gibt ?) spielen in dieser Aufgabe keine Rolle.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 05.03.2014 | | Autor: | jayw |
Vielen Dank für eure Antworten, ich habe nochmal neu angesetzt, komme aber trotzdem nicht weiter, siehe Anhang. :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 05.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für eure Antworten, ich habe nochmal neu
> angesetzt, komme aber trotzdem nicht weiter, siehe Anhang.
> :(
Hallo,
wenn [mm] $h'(t)=\frac{H_0}{90}$ [/mm] ist, dann bekommst du den benötigten Term h(t) dadurch, dass du h'(t) integrierst.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 05.03.2014 | | Autor: | jayw |
> > Vielen Dank für eure Antworten, ich habe nochmal neu
> > angesetzt, komme aber trotzdem nicht weiter, siehe
> Anhang.
> > :(
> Hallo,
> wenn [mm]h'(t)=\frac{H_0}{90}[/mm] ist, dann bekommst du den
> benötigten Term h(t) dadurch, dass du h'(t) integrierst.
> Gruß Abakus
Okay, dann ist da ja aber die Konstante drin die ich nicht kenne?
Ich habe mal so weiter gerechnet... siehe Anhang:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was du in dieser neuesten Rechnung hinzu gefügt hast, kannst du komplett wegschmeißen.
Die letzte Gleichung aus deinem vorigen Beitrag war richtig :
[mm] V'(h(t_0))=\bruch{1}{90}\bruch{A_0}{H_0}*h^2(t_0).
[/mm]
Ich habe mal deine Bezeichnungen übernommen, obwohl die doch etwas durcheinander gehen. [mm] t_0 [/mm] ist derjenige Zeitpunkt, zu sem die Talsperre halbvoll ist, [mm] A_0 [/mm] bzw [mm] H_0 [/mm] ist diejenigen Fläche bzw. Höhe, bei der die Talsperre voll ist.
Deine Ableitung von A ist immer noch (oder schon wieder ?) falsch.
Ich hatte dir doch oben geschrieben, dass $ [mm] A'(t_0)=\bruch{1}{90}\cdot{}A_0 [/mm] $ ist, aber diesen Ausdruck benötigst du ja in deiner jetzigen Lösung nicht.
Wesentlich sind jetzt folgende zwei Fehler bei dir :
1. h'(t) ist nicht konstant und deshalb ist deine Integration völlig falsch.
2. Die Beziehung [mm] h'(t)=\bruch{1}{90}H_0 [/mm] gilt nur zum Zeitpunkt [mm] t=t_0.
[/mm]
Du musst mit dem konstanten Volumenzuwachs V', den du berechnet hast, ermitteln, wann die restlichen 7/8 der Talsperre gefüllt sein werden.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 28.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe nicht, wie du die Ableitung von A von h richtig benutzt hast, da [mm] A(h(t))=k*h(t)^2
[/mm]
ist A'=k*2h'h' k ist [mm] A(H)/H^2
[/mm]
also weder 1/90A noch /1/90)^2A
aber besser du schreibst direkt V(h(t) hin und differenzierst.
Gruss leduart
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