Was heißt "faktorisiert über"? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 16.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Ich bin jetzt schon mehrfach über die Sprechweise "faktorisiert über" gestolpert, zum Beispiel in folgendem Zusammenhang:
die Abbildung [mm] $f:X\to [/mm] Y$ ist eine topologische Einbettung, genau dann wenn $f$ injektiv und stetig ist, und für alle topologischen Räume T und alle stetigen Abbildungen [mm] $t:T\to [/mm] Y$, die über X faktorisieren, die induzierte Abbildung [mm] $t_0$ [/mm] stetig ist.
Kann es sein, dass diese Sprechweise eine allgemeine kategorientheoretische Bedeutung hat? Falls ja, welche?
Viele Grüße,
Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Robert!
> Ich bin jetzt schon mehrfach über die Sprechweise
> "faktorisiert über" gestolpert, zum Beispiel in folgendem
> Zusammenhang:
>
> die Abbildung [mm]f:X\to Y[/mm] ist eine topologische Einbettung,
> genau dann wenn [mm]f[/mm] injektiv und stetig ist, und für alle
> topologischen Räume T und alle stetigen Abbildungen [mm]t:T\to Y[/mm],
> die über X faktorisieren, die induzierte Abbildung [mm]t_0[/mm]
> stetig ist.
>
> Kann es sein, dass diese Sprechweise eine allgemeine
> kategorientheoretische Bedeutung hat? Falls ja, welche?
Ja, hat es: wenn du zwei Morphismen $f : T [mm] \to [/mm] Y$ und $g : X [mm] \to [/mm] Y$ hast und $f$ ueber $g$ faktorisieren soll, heisst das, dass es einen Morphismus $h : T [mm] \to [/mm] X$ gibt $f [mm] \circ [/mm] h = g$.
Wenn die Abbildung $g : X [mm] \to [/mm] Y$ fest ist, und man Morpismen $T [mm] \to [/mm] Y$ anschaut, dann sagt man auch einfach "ueber $X$ faktorisieren", wenn man "ueber $g$ faktorisieren" meint.
Man kann das uebrigens auch anders herum machen, also $f : Y [mm] \to [/mm] T$ und $g : Y [mm] \to [/mm] X$: dann faktorisiert $f$ ueber $g$ genau dann, wenn es einen Morphismus $h : X [mm] \to [/mm] T$ gibt mit $f = g [mm] \circ [/mm] h$.
Ein solches Beispiel ist der Homomorphiesatz aus der Algebra: sind $f : G [mm] \to H_1$ [/mm] und $g : G [mm] \to H_2$ [/mm] Gruppenhomomorphismen (oder Ringhomomorphismen oder Vektorraumhomomorphismen), so faktorisiert $f$ genau dann ueber $g$, wenn [mm] $\ker [/mm] g [mm] \subseteq \ker [/mm] f$ gilt. (Normalerweise wird der Homomorphiesatz etwas spezieller formuliert, mit $g$ als Projektion von $G$ auf $G / [mm] \ker [/mm] f$; er gilt aber auch in dieser allgemeineren Form.)
Zurueck zur Topologie: wenn $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine Einbettung ist und $P = [mm] \{ p \}$ [/mm] der Einpunktraum, dann entsprechen ja die Punkte von $X$ den stetigen Abbildungen $P [mm] \to [/mm] X$, und die Punkte von $Y$ den stetigen Abbildungen $P [mm] \to [/mm] Y$. Wenn man die Punkte so identifiziert, dann liegt ein Punkt $Z [mm] \to [/mm] Y$ von $Y$ genau dann im Bild der Einbettung $f$, wenn $Z [mm] \to [/mm] Y$ ueber $f$ (oder einfach gesagt $X$) faktorisiert.
(Solche "Punkte" betrachtet man auch in der algebraischen Geometrie sehr gerne.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Fr 16.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo Felix,
Erstmal Danke für deine Antwort. Habe sie jetzt noch nicht vollständig verstanden (arbeite aber daran), aber
> wenn du zwei Morphismen [mm]f : T \to Y[/mm] und [mm]g : X \to Y[/mm]
> hast und [mm]f[/mm] ueber [mm]g[/mm] faktorisieren soll, heisst das, dass es
> einen Morphismus [mm]h : T \to X[/mm] gibt [mm]f \circ h = g[/mm].
hier meinst du wohl: [mm] $h:X\to [/mm] T$, oder?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Merle23 |
Moin.
Ja, bei Felix sind Definitions- und Zielmenge durcheinander (auch bei der anderen Definition danach).
Also ich kenne es so: Wenn ein f über einem g faktorisiert, dann heisst das: Es gibt ein h, so dass entweder f=gh oder f=hg, je nachdem wie die Definitions- und Zielmengen von g sind.
Bei Räumen/Strukturen genau so. Wenn z.B. eine Abbildung [mm]f : S^n \to X[/mm] über dem [mm]RP^n[/mm] faktorisiert, dann heisst das, es gibt eine Abbildung [mm]h : RP^n \to X[/mm], so dass [mm]f = h \circ \pi[/mm], wobei [mm]\pi[/mm] die Projektion [mm]S^n \to RP^n[/mm] ist (genauer gesagt ist es die Antipodenabbildung).
$$ [mm] S^n \overset{f}{\to} [/mm] X [mm] \quad [/mm] = [mm] \quad S^n \overset{\pi}{\to} RP^n \overset{h}{\to} [/mm] X.$$
Konkret bedeutet das für die Abbildung f, dass sie Invariant ist unter der Antipodenabbildung, d.h. f(x) = f(-x) gilt. Das ist sogar äquivalent dazu, dass sie über dem [mm] RP^n [/mm] faktorisiert (nachprüfen!).
Kurz gesagt: Eine Abbildung faktorisiert über irgendwas, wenn du sie darstellen kannst als Komposition zwei anderer Abbildungen, wobei das, worüber sie faktorisiert, da mitten drin auftaucht irgendwo.
LG, Alex
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