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Guten Tag zusammen,
ich habe eine Webseite erstellt, die Nutzeranfragen entgegen nimmt. Ich möchte die Leistungsfähigkeit des Systems mit der Warteschlangen-Theorie überprüfen.
Dafür brauch ich nun die Verteilungsfunktion der Zwischenankunftszeiten für x Benutzer.
Da ich keine Daten habe, um mir eine reale Verteilungsfunktion zu erstellen, möchte ich eine realistische selber konstruieren.
Dafür habe ich mir Werte für eine diskrete Verteilung ausgedacht, wie die Zwischenankunftszeiten für EINEN Benutzer sein könnten.
Ich möchte nun ausgehend von der Verteilungsfunktion bei einem Benutzer, auf die Verteilungsfunktion bei N Benutzern schließen.
Ein Kollege hat mir folgenden Ansatz mit Hilfe eines Programms vorgeschlagen. Ich solle x Ziehungen mit der gegebenen Verteilungsfunktion machen. Diese x Ziehungen mache ich für N Beutzer, so dass ich N mal x Werte habe. Er meinte, dass man daraus vermutlich eine Verteilungsfunktion für N Benutzer ermitteln könnte.
Bin ich da auf dem richtigen Weg? Geht das so? Wenn ja, wie geht es nun weiter wenn ich die ganzen Werte habe.
Oder gibt es da viel bessere Ansätze?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Di 02.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
schau dir mal die Theorie des Poisson-Prozesses an, allerdings sind die Zwischenankunfstzeiten hier nicht diskret, sondern exponentialverteilt.
Sollen sie denn diskret sein?
Gruß
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Danke schon mal für deine Antwort. Als mein Stochastik Wissen ist ziemlich eingerostet.
Die Verteilungsfunktion muss nicht diskret sein.
Aber beim Poisson-Prozess geht ja man ja von einer Poisson-Verteilung aus, bei der die Intensität festgelegt werden kann. (Wenn ich das alles richtig verstanden habe). Versteh ich das richtig, dass dabei dann aber davon ausgegangen wird, dass die Verteilung der Zwischenankunftszeit Poisson-verteilt ist?
Wie ist es denn, wenn ich eine eigene diskrete Verteilung für einen Nutzer habe. Kann ich die Verteilung nicht irgendwie addieren (n-mal), so dass ich dann eine Verteilung erhalte, die bei n Nutzern gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
zu klären wären die Voraussetzungen im einfachsten Modell hat der Prozess unabhängige und stationäre Zuwächse und zu jedem Zeitpunkt kann nur höchstens eine Anfrage auftreten.
Stationarität heißt: Die Verteilung der Zuwächse in einem Zeitintervall hängt nur von der länge des Intervalls ab, also die Wkeit dass eine bestimmte Anzahl an Anfragen im Zeitintervall [t,s] eintritt ist gleich derer des Intervalls [t+d,s+d]
Sind diese Annahmen gegeben so ist die Modellierung mittels eines homogenen Poisson-Prozess zu wählen (sind Annahmen verletzt so gibt es auch noch fortgeschrittener Modelle).
Ein Beispiel wäre:
Auf einem Server gehen pro Sekunde im Schnitt 0.5 Emails ein und die drei obigen Annahmen sind erfüllt. So ist die Anzahl der Emails im Intervall ]0,t] wobei t für Sekunden steht
[mm]Poi(\lambda t)[/mm] vertielt und die Zeitspannen zwischen zwei Mails
[mm]Exp(\lambda)[/mm] verteilt und die Zeitspanne bis zur n-ten Mail ist dann eben eine Faltung aus n unabhängigen Exp verteilten ZV also Gammaverteilung.
Aufgrund der Stationarität kannst du dann natürlich auf ganz leicht die Verteilung der Anzahl der Mails im Intervall [r,t] angeben nämlich
[mm]Poi(\lambda (t-r))[/mm]
Gruß
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Hallo nochmal,
also deine Beispiel mit den E-Mails an den Server kann man auf meine Situation übertragen. Anstatt E-Mails werden einfach andere Anfragen an den Server gesendet.
Von daher müssten die drei Anforderungen, die du nennst, erfüllt sein. Dass zwei oder mehrere Anfragen nicht zeitgleich passieren, davon kann man jetzt erst mal ausgehen.
Wenn ich jetzt dein Beispiel richtig verstanden habe, und ich möchte jetzt die Verteilung der Zeitspannen zwischen zwei E-Mails innerhalb einer Sekunde (das ist mein gewünschtes Zeitintervall für die Warteschlangen-Theorie) haben, dann ist doch t = 1 und [mm] $\lambda$ [/mm] = 0.5 (0.5 E-Mails pro Sekunde. Da [mm] $\lambda$ [/mm] doch die Intensität des Prozesses angibt.
Da ich die Verteilung der Zeiten zwischen zwei E-Mail möchte, interessiert mich im Grunde doch dann nur $ [mm] Poi(\lambda [/mm] t) $.
Also : $ Poi(0.5 * 1) $
Für meine Berechnungen mit der Warteschlangen-Theorie brauche ich eigentlich ja nur den Erwartungswert der Verteilung der Zwischenankunftszeit.
Das wäre dann oben einfach $ [mm] E(Poi(\lambda [/mm] t)) = [mm] \lambda [/mm] * t$, somit in dem Fall 0.5. Das bedeutet doch, dass ich mir dann überlegen muss, wieviel E-Mails im Durchschnitt pro Sekunde einfallen und das ist ja dann schon der Erwartungswert der Verteilung, welchen ich dann für meine weiteren Berechnungen nehmen kann.
Somit kann ich zwar sagen, dass die Verteilung der Zwischenankunfszeiten über einen POI-Verteilung passiert und das erklären, aber den Erwartungswert lege ich dann ja quasi selber fest?
Oder habe ich das jetzt völlig falsch verstanden alles?
Danke schon mal für deine Hilfe
Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
nicht ganz! Beim Poissonprozess ist die Anzahl der Anfragen in einem Zeitintervall [mm][s,t][/mm] [mm]Poi(\lambda (t-s))[/mm] verteilt.
Die Zeiten zwischen zwei Anfragen sind aber exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
Da die Summe von unabhängigen exponentialverteilten ZV's gammaverteilt ist, ist die Zeit bis zur n-ten Anfrage eben Gammaverteilt.
Wenn Du keine historischen Daten hast, dann wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben als [mm]\lambda[/mm] selbst einigermaßen sinnvoll festzulegen.
Was zum Problem werden könnte, ist natürlich dass man in der Realität vielleicht nicht davon ausgehen kann, dass zu allen Tageszeiten die Anzahl der Anfragen die gleiche Verteilung besitzt. Hier muss man gegebenenfalls Saison-Effekte einbauen.
Viele Grüße
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Danke für deine Ausführungen.
Denke jetzt ist es mir klar.
Da ich Lamda ja festlegen muss, ob jetzt durch historische Daten oder selbständige Überlegung, habe ich ja auch direkt den Erwartungswert.
Und es gibt da keine Möglichkeit, dass wenn ich eine eigene Verteilung für die Ankunftszeiten eines Nutzers habe, die Verteilung für n gleichzeitiger Nutzer zu erhalten.
Mein Kollege hat da das Beispiel eines Würfelwurfs gebracht.
Die Wahrscheinlichkeit ist gleichverteilt bei einem Würfel. Wenn ich jetzt aber die Verteilungsfunktionen jeweils eines Würfels habe (und mit zwei Würfeln werfe) und diese über eine Faltung kombinieren/addieren (?), dann erhalte ich eine neue Verteilungsfunktion (Dreieck), die bei einer 7 die größte Wahrscheinlichkeit hat.
Er hatte überlegt, ob man dieses Prinzip nicht auf eine konstruierte Verteilung anwenden kann. Ich habe n-mal die gleiche Verteilung und kombiniere sie so, dass das gewünschte Ergebnis herauskommt.
Eine numerische Lösung mit PC Unterstützung wäre hier auch möglich, wenn es einen Weg gibt.
Vielen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo Hansi2000,
ich versteh nicht ganz was du mit Verteilung der Ankunfstzeit für einen Benutzer meinst.
Im Poissonprozess ist die Zeit zwischen zwei Ereignissen (zwei Emails, etc.) exponnentialverteilt.
Was meinst du mit Ankunftszeit für einen Benutzer? Oder meinst du damit wie lange ein Benutzer bei einer Anfrage das System blockiert, also so ne art Verweildauer? Aber dann hätten wir die ganze Zeit völlig aneinander vorbeigeredet .-)
Grüße
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