Wahrscheinlichkeitsverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | In einem Kurs sind 12 Schülerinnen und 8 Schüler. Der Kurslehrer erhält von einem Verein regelmäßig fünf Freikarten für Basketballspiele des örtlichen Vereins, die er an die Kursteilnehmer weitergibt.
a) Für die Auslosung benutzt der Lehrer ein reguläres Ikosaeder; die Augenzahlen entsprechen dabei der Nummer des Schülers/der Schülerin in der Kursliste. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden nach diesem Verfahren mehr Freikarten an Jungen als an Mädchen verteilt?
b) Wie oft muss das Ikosaeder mindestens geworfen werden, bis ein bestimmter Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einmal eine Freikarte erhalten hat?
c) Der Kurssprecher protokolliert, wie oft die einzelnen Kursteilnehmer nach diesem Glücksverfahren eine Freikarte erhalten haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 50 Ikosaeder-Würfen ein bestimmter Kursteilnehmer noch keine Freikarte, eine Freikarte, zwei, drei, mehr als drei Freikarten erhalten hat?
d) Die Jungen haben den Verdacht, dass der Lehrer das Ikosaeder so geschickt werfen kann, dass da-durch die Mädchen im Vorteil sind. Aufgrund der nächsten 60 Ikosaeder-Würfe erhalten 40 Mädchen eine Freikarte. Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen eine Freikarte erhält und vergleichen Sie dies mit dem Verdacht der Jungen. |
Hallo,
ich bin gerade dabei die Stochastik zu wiederholen und habe Probleme mit dieser Arbeit.
Ich fange erstmal mit a) und b) an.
Zu a)
Woher kann ich erkennen erst mal, ob es Ziehen mit oder ohne Zurücklegen ist. Ich meine, wenn ich eine Karte an eine Person vergebe ist sie ja erstmal raus. Aber das Ikosaeder hat doch immer noch 20 Flächen. Was ist nun entscheidend?
Wenn ich es nach der Binomialverteilung, also Ziehen mit Zurücklegen, mache, würde ich den CAS eingeben: BinIWKT (20,2/5,3,5) und erhalte dann 12,2%.
Zu b) Ich würde das auch mit BinIWKT machen. Aber habe ich keine Ahnung wie ich die mindestens 90% und die minimale Wurfzahl herausfinden bzw. dafür einen Weg zur Berechnung finden soll.
PS: Taschenrechner ist TI Voyage 200
Danke.
LG
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Hallo,
die Aufgabe ist hier etwas erklärungsbedürftig.
Folgt man bei a) dem Wortlaut, kann theoretisch auch ein Schüler/eine Schülerin alle Karten gewinnen. Dann wäre es Ziehen mit Zurücklegen. Folgt man dem gesunden Menschenvertsand, dann wird die Sache schwieriger: man würde annehmen, jeder kann nur eine Karte gewinnen. Dann muss der Lehrer aber nochmal würfeln, wenn eine Nummer kommt, die schon gewonnen hat. Das würde die Modellierung derart verkomplizieren, dass man es wiederum im Rahmen einer solchen Aufgabe fast ausschließen kann. Von daher ist wohl die erste Variante gemeint und damit liegt Ziehen mit Zurücklegen vor.
Wenn man jetzt die Teilaufgabe b) liest, dann wird vollends klar, dass die oben vorgeschlagene Interpretation gemeint ist. Hier haben wir eine Binomialverteilung und es ist die alte Geschichte: für diskrete Verteilungen gilt grundsätzlich
[mm] P(X>k)=1-P(X\le{k})
[/mm]
Das erklärt dann auch, weshalb dein Ansatz zu a) nicht stimmen kann, obschon der Weg über die Binomialverteilung grundsätzlich der richtige ist.
PS: Schreibe besser Binomialverteilung an Stelle irgendwelcher kryptischer CAS-Abkürzungen. Dann weiß jeder, was gemeint ist, inkl. dir selbst. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Ich habe jetzt leider nicht verstanden, wieso a) nicht stimmt.
Es ist doch so, dass wir Ziehen mit Zurücklegen haben. Was war jetzt an meinem Vorgehen denn falsch?
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Hallo,
das kann ich dir auch nicht genau sagen, wenn du keine vernünftige Rechnung hinschreibst. Es kommt nicht darauf an, welches Urnenmodell vorliegt, sondern einzig und allein, das es ein binomialverteiltes Problem ist.
Wenn du nach der Wahrscheinlichkeit suchst, dass unter den Gewinnern mindestens drei Jungen sind, dann ist das Problem zwar wieder mit den von dir angegebenen Parametern binomialverteilt, aber es ist ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit der Form
P(X>k)
gesucht, welche man nicht blindlings mit dem Rechner bestimmen kann, sondern über den bereits gegebenen Ansatz berechnen muss. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefert nämlich grundsätzlich Wahrscheinlichkeiten der Form
[mm] P(X\le{k})
[/mm]
zurück.
Zur Kontrolle: bei a) muss [mm] P\approx{31.7\%} [/mm] herauskommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Also, ich hab es:
Zu b)
[mm] P(X\ge1)=1-0,95^n\ge0,90
[/mm]
[mm] n\ge48,89 [/mm] --> also mind. 49 mal.
Und zu a)
müsste es doch heißen:
[mm] P(X\ge3)=1-(3/5)^5 [/mm] = p oder?
Aber da kommt nicht 0,317 raus?
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Hallo,
da muss ich dich leider schon wieder enttäuschen. Jetzt hast du plötzlich die Tatsache vergessen, das beide Aufgabenteile per Binomialverteilung zu lösen sind.
Ganz ehrlich: am besten wäre es, du würdest dich erst einmal intensiv mit deinen Unterlagen zu Bernoulliketten und Binomialverteilung auseinandersetzen, sonst bleibt das ein arges Herumgestochere. Na ja, es heißt ja auch Stochastik. 
Gruß, Diophant
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