Wahrscheinlichkeitsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 28.02.2010 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass $f(n) = n [mm] p^2(1-p)^{n-1}$ [/mm] mit $p [mm] \in [/mm] (0,1)$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf [mm] $\IN_{> 0}$ [/mm] ist. |
Hallo!!
Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter...
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ja die integrierte Wahrscheinlichkeitsdichte.
Muss ich dann da zeigen, dass $f'(n) = [mm] \rho(n)$ [/mm] und diese stückweise stetig ist?
Oder reicht es zu zeigen, dass [mm] $f(\infty) [/mm] - f(- [mm] \infty) [/mm] = 1$ ist?
Wir haben die Wahrscheinlichkeitsdichte wie folgt definiert:
Eine stückweise stetige Funktion [mm] $\rho: \IR \rightarrow \IR$ [/mm] heißt (Wahrscheinlichkeits)Dichte, falls [mm] $\rho(x) \geq [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\integral_{- \infty}^{\infty} \rho(x) [/mm] = 1$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 28.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
leider bist du gaenzlich auf dem Holzweg. Du musst
zeigen, dass gilt [mm] $\sum_{n=0}^\infty [/mm] f(n)=1$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 28.02.2010 | | Autor: | wolle238 |
Okay Danke! :)
Dann werd ich das mal damit weiter probieren! :)
Nun soll ich noch den Erwartungswert und die Varianz von einer Zufallsvariablen $X$, die gemäß $f(n)$ verteilt ist, berechnen...
Der Erwartungswert ist ja so definiert:
$ [mm] \mathbb{E}[X] [/mm] = [mm] \summe_{j \in J} x_j \cdot p(x_j)$
[/mm]
und die Varianz:
$ [mm] \mathbb{V}(X) [/mm] = [mm] \mathbb{E} [/mm] [ (X + [mm] \mathbb{E} [X])^2]$
[/mm]
Also muss ich doch:
[mm] $\mathbb{E} [/mm] = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} [/mm] n f(n)$ berechnen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay Danke! :)
> Dann werd ich das mal damit weiter probieren! :)
>
> Nun soll ich noch den Erwartungswert und die Varianz von
> einer Zufallsvariablen [mm]X[/mm], die gemäß [mm]f(n)[/mm] verteilt ist,
> berechnen...
>
> Der Erwartungswert ist ja so definiert:
> [mm]\mathbb{E}[X] = \summe_{j \in J} x_j \cdot p(x_j)[/mm]
> und die
> Varianz:
> [mm]\mathbb{V}(X) = \mathbb{E} [ (X + \mathbb{E} [X])^2][/mm]
>
> Also muss ich doch:
>
> [mm]\mathbb{E} = \summe_{n = 0}^{\infty} n f(n)[/mm] berechnen,
> oder?
Eigentlich solltest du bei $n = 1$ anfangen, da du eine W'verteilung auf [mm] $\IN_{>0}$ [/mm] hast und nicht auf [mm] $\IN_{\ge 0}$. [/mm] Das ist hier aber auch ok, da $f(0)$ zufaellig definiert und gleich 0 ist.
Insofern ist's ok :)
LG Felix
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