Wahrscheinlichkeitsberechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | | Es gibt Leitungen zwischen den Orten 2 und 3 und von jeder dieser Orte zu den Orten 1 und 4. Jede dieser Leitungen wird unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit p gestört. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man noch eine Nachricht von 1 nach 4 übermitteln? |
Hallo,
ich sitze hier an dieser Aufgabe und weiß einfach nicht wie ich anfangen soll. Naja bisher habe ich mir überlegt, dass es [mm] 2^5=32 [/mm] mögliche Anordnungen an Störungen zwischen den Leitungen gibt.
Ich denke, dass ich bei der Aufgabe mit unabhängigen Zufallsvariablen arbeiten muss und da fängt das Problem schon an ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Beste Grüße
Lysin
|
|
| |
|
> Es gibt Leitungen zwischen den Orten 2 und 3 und von jeder
> dieser Orte zu den Orten 1 und 4. Jede dieser Leitungen
> wird unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit p
> gestört. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man noch eine
> Nachricht von 1 nach 4 übermitteln?
> Hallo,
> ich sitze hier an dieser Aufgabe und weiß einfach nicht
> wie ich anfangen soll. Naja bisher habe ich mir überlegt,
> dass es [mm]2^5=32[/mm] mögliche Anordnungen an Störungen zwischen
> den Leitungen gibt.
> Ich denke, dass ich bei der Aufgabe mit unabhängigen
> Zufallsvariablen arbeiten muss und da fängt das Problem
> schon an
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
>
> Beste Grüße
> Lysin
Hallo Lysin,
interessante Aufgabe, da sie sich nicht einfach durch
Einsetzen in eine vorliegende Formel lösen lässt !
Da 32 mögliche Konstellationen noch eine überblickbare
Anzahl ist, kann man diese natürlich in einer Tabelle
darstellen, für jede entscheiden, ob die Orte 1 und 4
dabei noch verbunden bleiben (und allenfalls, über wie
viele Teilstrecken) und dann daraus die gesuchte Wahr-
scheinlichkeit berechnen.
Eine ganz kurze Lösung sehe ich im Moment nicht. Um
nach einer solchen zu suchen, würde ich wohl zuerst
genau den Weg mit der Tabelle gehen und dann daran
Vereinfachungsmöglichkeiten suchen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Lysin |
Hi!
>
> Hallo Lysin,
>
> interessante Aufgabe, da sie sich nicht einfach durch
> Einsetzen in eine vorliegende Formel lösen lässt !
>
> Da 32 mögliche Konstellationen noch eine überblickbare
> Anzahl ist, kann man diese natürlich in einer Tabelle
> darstellen, für jede entscheiden, ob die Orte 1 und 4
> dabei noch verbunden bleiben (und allenfalls, über wie
> viele Teilstrecken) und dann daraus die gesuchte Wahr-
> scheinlichkeit berechnen.
>
> Eine ganz kurze Lösung sehe ich im Moment nicht. Um
> nach einer solchen zu suchen, würde ich wohl zuerst
> genau den Weg mit der Tabelle gehen und dann daran
> Vereinfachungsmöglichkeiten suchen.
>
> LG Al-Chw.
>
Ich habe jetzt mal die 32 Anordnungen aufgeschrieben und 15 günstige Ereignisse gezählt, dass eine Nachricht von 1 nach 4 ungestört übermittelt werden kann. Dann kommt nach Laplace 15/32 heraus. Stimmt das? Gibt es nicht noch einen "mathematischeren" Weg zum Ergebnis??
Danke schonmal für die Hilfe.
Grüße
Lysin
|
|
|
| |
|
> Ich habe jetzt mal die 32 Anordnungen aufgeschrieben und 15
> günstige Ereignisse gezählt, dass eine Nachricht von 1
> nach 4 ungestört übermittelt werden kann. Dann kommt nach
> Laplace 15/32 heraus. Stimmt das?
das kann nicht stimmen, denn man muss ja bestimmt auch
noch die Störungswahrscheinlichkeit p für die einzelnen
Teilstrecken in die Rechnung einbringen !
> Gibt es nicht noch einen "mathematischeren" Weg zum Ergebnis??
hab ich mir bis jetzt noch nicht näher überlegt - werde es
aber wenn möglich noch tun
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo Lysin,
eine Zeichnung wäre nicht schlecht. In der Aufgabenstellung steht es gibt "Leitungen" zwischen 2 und 3. Habe das mal als 2 Leitungen gedeutet bin mir aber nicht sicher. Offenbar hat das ganze ja mit Zuverlässigkeitstheoire und Reihen- bzw. Parralelschaltungen zu tun.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Hallo Lysin,
>
> eine Zeichnung wäre nicht schlecht. In der
> Aufgabenstellung steht es gibt "Leitungen" zwischen 2 und
> 3. Habe das mal als 2 Leitungen gedeutet bin mir aber nicht
> sicher. Offenbar hat das ganze ja mit
> Zuverlässigkeitstheoire und Reihen- bzw.
> Parralelschaltungen zu tun.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hi Sigma,
danke für die Zeichnung - doch ich denke nicht, dass
die Punkte 2 und 3 "doppelt" verbunden werden sollen !
In meiner Zeichnung habe ich die Punkte 1,2,3,4
auf einer Geraden angeordnet - aber das ist ja für
die Aufgabe nebensächlich.
Ich habe die 5 "Leitungen" oder "Kanten" des Graphen
mit a,b,c,d,e bezeichnet:
a = [1,2]
b = [2,3]
c = [3,4]
d = [1,3]
e = [2,4]
Wie Lysin habe ich dann einmal die 32-zeilige Binär-
tabelle für die Betriebszustände aufgestellt, in welcher
jeweils eine 1 besagt: Leitung ok und eine 0: Leitung
unterbrochen.
Bei mir führte genau die Hälfte der Betriebszustände
(16 von 32) zu einer durchgehenden Leitung von Punkt 1
zu Punkt 4. Nun muss man aber eben noch berücksichtigen,
dass die 32 Betriebszustände ja eben nicht gleich
wahrscheinlich sind.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo,
inzwischen habe ich die Rechnungen durchgeführt und bin
auf folgendes Resultat gekommen:
P(1 hat mit 4 Verbindung) = [mm] 1-2\,p^2-2\,p^3+5\,p^4-2\,p^5 [/mm] = [mm] (1-p)^2*((1+p)^2-2\,p^3)
[/mm]
(p=Ausfallwahrscheinlichkeit jedes einzelnen Abschnitts)
Wer kann mein Ergebnis bestätigen oder (hoffentlich nicht)
widerlegen ?
Und es bleibt natürlich die Frage nach einer "eleganten"
Lösung, die insbesondere ohne Tabelle auskommt.
Gruß
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Do 11.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube, dass ich ein völlig anderes Ergebnis habe.
Es sei p die Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Leitung, q=1-p.
Es bezeichne weiter
A : Verbindung 1 - 2 - 3 - 4 geht (3 Leitungen) , P(A) = [mm] q^3
[/mm]
B : Verbindung 1 - 2 - 4 geht (2 Leitungen) , P(B) = [mm] q^2
[/mm]
C : Verbindung 1 - 3 - 4 geht (2 Leitungen) , P(C) = [mm] q^2
[/mm]
Dann ist
P("Verbindung zwischen 1 und 4")
= 1 - P("keine Verbindung zwischen 1 und 4")
= 1 - [mm] P(A^C)*P(B^C)*P(C^C)
[/mm]
= 1 - (1-P(A))*(1-P(B))*(1-P(C))
= 1 - [mm] (1-q^3)*(1-q^2)*(1-q^2)
[/mm]
= 1 - [mm] (1-(1-p)^3)*(1-(1-p)^2)^2
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> ich glaube, dass ich ein völlig anderes Ergebnis habe.
>
> Es sei p die Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen
> Leitung, q=1-p.
>
> Es bezeichne weiter
> A : Verbindung 1 - 2 - 3 - 4 geht (3 Leitungen) , P(A) =
> [mm]q^3[/mm]
> B : Verbindung 1 - 2 - 4 geht (2 Leitungen) , P(B) =
> [mm]q^2[/mm]
> C : Verbindung 1 - 3 - 4 geht (2 Leitungen) , P(C) =
> [mm]q^2[/mm]
>
> Dann ist
> P("Verbindung zwischen 1 und 4")
> = 1 - P("keine Verbindung zwischen 1 und 4")
> = 1 - [mm]P(A^C)*P(B^C)*P(C^C)[/mm]
> = 1 - (1-P(A))*(1-P(B))*(1-P(C))
> = 1 - [mm](1-q^3)*(1-q^2)*(1-q^2)[/mm]
> = 1 - [mm](1-(1-p)^3)*(1-(1-p)^2)^2[/mm]
>
> Gruß Sax.
Hallo Sax,
es gäbe noch den Verbindungsweg 1 - 3 - 2 - 4
Im Übrigen habe ich deine Berechnung jetzt nicht nach-
geprüft, aber numerisch habe ich festgestellt, dass die
Diskrepanz zwischen deinem und meinem Polynom über
dem Intervall [mm] 0\le{p}\le{1} [/mm] maximal etwa 0.028 beträgt.
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:26 Do 11.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
den Weg habe ich leider völlig übersehen.
Also würde mein Lösungsweg (ohne ihn noch mal im Einzelnen aufzuschreiben) den Term
P("Verbindung zwischen 1 und 4") = 1 - $ [mm] (1-(1-p)^3)^2\cdot{}(1-(1-p)^2)^2 [/mm] $
ergeben.
Die Abweichung wird jetzt größer, aber darum geht es ja nicht.
Edit
Ich ziehe meinen Lösungsvorschlag zurück, er ist Unfug, ich habe meinen Fehler gefunden.
(Ich hatte [mm] P(A^C \cap B^C \cap [/mm] ...) = [mm] P(A^C)*P(B^C)* [/mm] ... benutzt, aber die Ereignisse sind natürlich nicht st.unabh. )
Ich habe Al's Lösung nachgerechnet und bin auf dasselbe Ergebnis gekommen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hallo Sax !
> (Ich hatte [mm]P(A^C \cap B^C \cap[/mm] ...) = [mm]P(A^C)*P(B^C)*[/mm] ...
> benutzt, aber die Ereignisse sind natürlich nicht
> st.unabh. )
.... das dachte ich mir eben auch schon ...
> Ich habe Al's Lösung nachgerechnet und bin auf dasselbe
> Ergebnis gekommen.
vielen Dank für die Kontrolle !
Gruß und schönen Tag !
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 11.11.2010 | | Autor: | Lysin |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke erstmal für die angeregte Diskussion 
Ich wollte mal fragen, ob du mir kurz erklären kannst wie du gerechnet hast, sodass du auf dein Ergebnis kommst?
Danke schonmal für die Hilfe.
Grüße Lysin
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> danke erstmal für die angeregte Diskussion
>
> Ich wollte mal fragen, ob du mir kurz erklären kannst wie
> du gerechnet hast, sodass du auf dein Ergebnis kommst?
>
> Danke schonmal für die Hilfe.
> Grüße Lysin
Hallo Lysin,
ein Ausschnitt aus meiner Tabelle (Zeilen 12 bis 18) sieht
so aus:
[mm] \pmat{a&b&c&d&e&&z\\—— &——&——&——&——\\0&1&0&1&1&&1\\0&1&1&0&0&&0\\0&1&1&0&1&&0\\0&1&1&1&0&&1\\0&1&1&1&1&&1\\1&0&0&0&0&&0\\1&0&0&0&1&&1}
[/mm]
In der Zeile 12 liest man z.B. ab: wenn genau die Teil-
strecken b,d,e funktionieren (und die anderen nicht),
so ist z=1 (d.h. man hat Verbindung zwischen den
Orten 1 und 4). Dies liefert einen Beitrag zur gesuchten
Wahrscheinlichkeit P(Verbindung zwischen 1 und 4),
nämlich
[mm] p^2*q^3
[/mm]
(dieser Zustand Nr. 12) hat ja diese Wahrscheinlichkeit,
weil in ihm genau 2 Teilstrecken gestört und 3 leitend
sind.
Natürlich muss man nur jene Zeilen mit einer "1" in der
z-Kolonne berücksichtigen.
Die entstandene Summe von Ausdrücken der Form [mm] p^i*q^k
[/mm]
kann man dann zusammenfassen (und das Ergebnis
faktorisieren).
Jetzt bleibt eben noch die Frage: wer bringt uns die
"einfache" Lösung ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
ich weiss nicht ob es unbedingt einfacher ist, aber ich habe die Aufgabe mit Hilfe der Einschluss-Ausschlussformel gelöst:
A=leitung a,c,e funktionieren
B=a,d
C=b,e
D=b,c,d
P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C [mm] \cup [/mm] D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-(P(A [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] C)+
P(A [mm] \cap [/mm] D).....)+(P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) +P(A [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap [/mm] D)...)
-P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap D)=2q^{3}+2q^{2}-5q^{4}-q^{5}+4q^{5}-q^{5}=
[/mm]
[mm] 2q^{3}+2q^{2}-5q^{4}+2q^{5}
[/mm]
für p=1/2 kommt wie bei der der obigen Lösung 1/2 als Wahrscheinlichkeit heraus.
|
|
|
| |
|
> ich weiss nicht ob es unbedingt einfacher ist, aber ich
> habe die Aufgabe mit Hilfe der Einschluss-Ausschlussformel
> gelöst:
>
> A=leitung a,c,e funktionieren
> B=a,d
> C=b,e
> D=b,c,d
>
> P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C [mm]\cup[/mm] D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-(P(A [mm]\cap[/mm]
> B)+P(A [mm]\cap[/mm] C)+
> P(A [mm]\cap[/mm] D).....)+(P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C) +P(A [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm]
> D)...)
> -P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap D)=2q^{3}+2q^{2}-5q^{4}-q^{5}+4q^{5}-q^{5}=[/mm]
>
> [mm]2q^{3}+2q^{2}-5q^{4}+2q^{5}[/mm]
>
> für p=1/2 kommt wie bei der der obigen Lösung 1/2 als
> Wahrscheinlichkeit heraus.
Hallo ![[]](/images/popup.gif) Skarabäus 
(... oder hast du bei dem Nickname vielleicht doch an
einen Apotheker gedacht ?)
um das Ergebnis mit meinem zu vergleichen, würde ich
das nicht bloß an einer einzigen Stelle tun, sondern die
gesamten Polynome vergleichen. Ersetzt man in deinem
Polynom das q durch (1-p), so kommt man zum gleichen
Polynom in p wie schon da .
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Mir ist beim Aufstellen der Tabelle was aufgefallen, könnte das vielleicht die "kurze" Lösung sein?
- 0 Leitungen fallen aus => P = [mm] (1-p)^5
[/mm]
- 1 Leitung fällt aus => P = [mm] p*(1-p)^4
[/mm]
Möglichkeiten:5, Es gibt immer einen Weg => P = [mm] 5*p*(1-p)^4
[/mm]
- 2 Leitungen fallen aus => P = [mm] p^2 [/mm] * [mm] (1-p)^3
[/mm]
Mglk: 10, wenn beide Enden oder beide Anfänge ausfallen gibt es keinen Weg, sonst schon
=> P = 8* [mm] p^2 [/mm] * [mm] (1-p)^3
[/mm]
- 3 Leitungen fallen aus => P = [mm] p^3*(1-p)^2
[/mm]
Mglk: 10, es funktioniert aber nur, wenn der Weg über 1,3,4 oder 1,2,4 frei ist
=> P = 2 * [mm] p^3 [/mm] * [mm] (1-p)^2
[/mm]
u.s.w. (es gibt keine anderen Wege mehr!)
Wenn ich diese Ps zusammen rechne, bekomme ich aber
[mm] 1-2p^2-2p^3+5p^4+3p^5 [/mm] heraus.
(Rechnung: [mm] (1-p)^5 [/mm] + 5*p* [mm] (1-p)^4 [/mm] + 8* [mm] p^2 [/mm] * [mm] (1-p)^3 [/mm] + 2 * [mm] p^3 [/mm] * [mm] (1-p)^2 [/mm] )
Ich hoffe, da steckt nur ein kleiner Rechenfehler dahinter.. was denkt ihr?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
