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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe 1 | Seien Y eine in [mm] [\pi,2\pi] [/mm] gleichverteilte Zufallsvariable, [mm] U=cos(Y+\pi) [/mm] und [mm] V=sin(Y-\pi).
[/mm]
- Sind U und V unabhängig?
- Sind |U| und [mm] U^{2}+V^{2} [/mm] unabhängig? |
| Aufgabe 2 | Sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable auf [mm] \Omega= [/mm] {-1,0,1}, also [mm] P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\bruch{1}{3}. [/mm] Sei nun Y eine weitere Zufallsvariable auf [mm] \Omega [/mm] mit [mm] Y=|X^{2}-1|.
[/mm]
- Sind X und Y stochastisch unabhängig? Sind die unkorreliert?
- Erläutern Sie kurz Zusammenhang und Unterschied zwischen Unkorreliertheit und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. |
Hallo Matheraum,
seit einigen Stunden versuche ich eine Herangehensweise an diese Aufgaben zu finden. Auch wenn ich meiner Meinung nach einige Defizite in diesem Kapitel aufweise, würde ich dennoch gerne versuchen, diese Aufgaben mit eurer Hilfe zu lösen.
Hinsichtlich der Aufgabe 1) orientiere ich mich an der folgenden Definition:
Unabhängkeit von stetigen Zufallsvariablen
Zwei stetige Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] y\in\IR
[/mm]
[mm] P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)*P(Y\le y)=F_{X}(x)*F_{Y}(y) [/mm]
gilt. Dabei ist [mm] F_{X} [/mm] bzw. [mm] F_{Y} [/mm] die Verteilungsfunktion von X bzw. Y.
Ein hilfsbereites Mitglied dieses Forums hatte mir bereits den folgenden Ansatz gegeben:
[mm] P(U^{2}+V^{2}=1\mid|U|\le [/mm] u)
Bezüglich der stochastischen Unabhängigkeit müsste dann gemäß der obigen Definition doch folgende Gleichung gelten:
(*) [mm] P(U^{2}+V^{2}=1\mid|U|\le u)=P(U^{2}+V^{2}=1)*P(|U|\le [/mm] u)
Aus einem vorherigen Gespräch mit jenem Mitglied weiß ich zumindest, dass
[mm] P(|U|\le u)=\bruch{arccos(-u)-arccos(u)}{\pi} [/mm] ist.
Leider weiß ich jetzt nicht, wie ich genau die anderen Wahrscheinlichkeiten berechne, um eben die Unabhängigkeit, bzw. die Abhängigkeit der Zufallsvariablen nachzuweisen:
Meine Frage:
Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich die Wahrscheinlichkeiten aus (*) berechnen kann?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
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> (*) [mm]P(U^{2}+V^{2}=1\mid|U|\le u)=P(U^{2}+V^{2}=1)*P(|U|\le[/mm]
> u)
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> Meine Frage:
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>
> Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich die
> Wahrscheinlichkeiten aus (*) berechnen kann?
>
Moin Marcel,
da bin ich wieder. 
Du brauchst nicht lange zu gruebeln:
[mm] $P(U^{2}+V^{2}=1\mid|U|\le u)=P(U^{2}+V^{2}=1)$,
[/mm]
denn es spielt keine Rolle, welchen Wert U oder |U|, annimmt, es
gilt stets [mm] $U^{2}+V^{2}=1$. [/mm] Also sind [mm] U^{2}+V^{2} [/mm] und |U| unabhaengig.
vg Luis
PS: Warum hast du den alten Thread beendet? Ich haette auch
dort noch weitergeholfen. Oder soll mal ein anderer helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52  ,
vielen Dank für deine Hilfe. Zunächst wollte ich nochmal Aufgaben aus vorherigen Kapiteln bearbeiten. Dann aber wollte ich doch nicht einfach die Flinte ins Korn werfen und es nochmal probieren. Zudem wurde es mir etwas unangenehm dich darum zu bitten, so viel Zeit für mich zu investieren. Aber ich freue mich dennoch über deine Antwort.
Dann würde ich gerne nochmal auf den ersten Aufgabenteil zu sprechen kommen und setze folgendermaßen an:
[mm] P(cos(Y+\pi)\mid sin(Y-\pi))
[/mm]
[mm] =P(-cos(Y)\mid [/mm] sin(Y))
Die stochastische Unabhängigkeit würde dann also folgendes verlangen:
[mm] P(-cos(Y)\mid [/mm] sin(y))=P(-cos(Y)*P(sin(Y))
mit
[mm] P(-cos(Y)\mid sin(y))=\bruch{P(-cos(Y)\wedge sin(Y))}{P(sin(Y)}
[/mm]
Ja, bei der Berechnung der hier erforderlichen Wahrscheinlichkeiten weiß ich dann wieder nicht weiter. Könntest du eventuell nochmal einen Tipp posten?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Ja, bei der Berechnung der hier erforderlichen
> Wahrscheinlichkeiten weiß ich dann wieder nicht weiter.
> Könntest du eventuell nochmal einen Tipp posten?
1) Zeichne mal [mm] $-\cos(y)$ [/mm] und [mm] $\sin(y)$ [/mm] in [mm] $[\pi,2pi]$.
[/mm]
2) Bestimme mal anhand der Zeichnung [mm] $P(\sin(Y)\le-1/2)$.
[/mm]
3) Bestimme mal [mm] $P(\sin(Y)\le-1/2\mid -\cos(Y)\le-1/2)$.
[/mm]
Tipp: Fuehre die obigen Wahrscheinlichkeiten auf Ereignisse
zurueck, die durch Y ausgedrueckt werden.
vg Luis
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