Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Soonic |
| Aufgabe | | Die 11 Spieler einer Fußballmannschaft geben vor dem Spiel sowohl ihre Jacken als auch Ihre Sporttaschen an einer Gederobe ab. Nach dem tumultartigen Ende des Spiels erhalten Sie zufällig zufällig eine Jacke und zufällig eine Tasche zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Spieler sowohl die richtige Tasche als auch die richtige Jacke erhalten? |
Hallo zusammen,
also meines Erachten nach, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Person die richtige Jacke erwischt [mm] \bruch{1}{11} [/mm] und zusätzlich die richtige Tasche ebenfalls [mm] \bruch{1}{11}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Person die richtige Kombination erwischt, also [mm] \bruch{1}{11}². [/mm] Jedoch soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass ALLE die richtigen Sachen bekommen, deshalb muss die Permutation auch stimmen, also [mm] \bruch{1}{11!}². [/mm]
Kann ich das so annehmen, oder habe ich ein Denkfehler mit der Fakultät?
Vielen Dank schon mal ....
Liebe Grüße und schönes Wochenende
soonic
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Soonic |
das sollte [mm] \bruch{1}{11²} [/mm] heißen 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Sa 07.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Tim,
wenn da [mm] $\left(\frac{1}{11!}\right)^2$ [/mm] stuende, wuerde meine Begeisterung kaum Grenzen kennen...
vg Luis
|
|
|
| |
|
Hallo Soonic,
Deine Grundüberlegung ist gut: man muss Taschen und Jacken getrennt überlegen. Aber selbst wenn wir annehmen, dass die Taschen auf einem Haufen liegen und die Jacken auf einem anderen, und dass die Spieler dennoch alle zugleich aus jedem Haufen ein Objekt ziehen, bestimmt sich die Wahrscheinlichkeit noch genauso, als würden sie alle gesittet nacheinander ziehen, meinetwegen sogar zuerst alle Taschen, dann alle Jacken.
> Hallo zusammen,
>
> also meines Erachten nach, ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> eine einzelne Person die richtige Jacke erwischt
> [mm]\bruch{1}{11}[/mm] und zusätzlich die richtige Tasche ebenfalls
> [mm]\bruch{1}{11}.[/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne
> Person die richtige Kombination erwischt, also
> [mm]\bruch{1}{11^2}.[/mm]
All das stimmt, aber nur für eine einzige Person, nämlich die, die im Gedankenexperiment zuerst zieht und noch die volle Auswahl hat.
> Jedoch soll die Wahrscheinlichkeit
> berechnet werden, dass ALLE die richtigen Sachen bekommen,
> deshalb muss die Permutation auch stimmen, also
> [mm]\bruch{1}{(11!)^2}.[/mm]
Die Herleitung ist zu kurz, hat aber das richtige Ergebnis.
Du kannst entweder die Personen einzeln durchgehen, jeder nimmt Jacke und Tasche, und die Wahrscheinlichkeit, dass alles stimmt, ist:
[mm] p=\produkt_{i=1}^{11}\bruch{1}{i^2}=\produkt_{i=1}^{11}\bruch{1}{i}*\bruch{1}{i}=\produkt_{i=1}^{11}\bruch{1}{i}*\produkt_{i=1}^{11}\bruch{1}{i}=\bruch{1}{11!}*\bruch{1}{11!}=\bruch{1}{(11!)^2}
[/mm]
Oder Du gehst erst die Jacken und dann die Taschen entlang, was die Gleichungskette ein bisschen verändert, aber das Ergebnis natürlich nicht.
> Kann ich das so annehmen, oder habe ich ein Denkfehler mit
> der Fakultät?
Alles richtig, nur ein bisschen zu kurz, um es direkt nachzuvollziehen. Meine Fassung ist das Gegenteil davon, also zu lang.
> Vielen Dank schon mal ....
>
> Liebe Grüße und schönes Wochenende
>
> soonic
Gleichfalls!
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 07.02.2009 | | Autor: | luis52 |
@reverend.
man kann das auch etwas einfacher herleiten. Damit jeder Spieler *seine* Jacke (Ereignis A) und *seine* Tasche erhaelt (Ereignis B), muss [mm] $A\cap [/mm] B$ eintreten. Beide sind unabhaengig und beide haben die Wsk $1/11!$. Also ist [mm] $P(A\cap B)=P(A)*P(B)=(1/11!)^2$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
