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| Aufgabe | | Die Anzahl X der an die IT-Abteilung gemeldeten Fehler beträgt im Mittel 4,2 Fehler am Tag |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) Wie groß ist ist unter der Annahme einer Poissonverteilung für X die Wahrscheinlichkeit, daß an einen Tag kein Fehler gemeldet wird?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den 220 Arbeitstagen eines Jahres ingesamt mehr als 1000 Fehler gemeldet werden
Antwort zu a) Habe ich 0,014 =1,4% ermittelt
Zur Aufgabe b) habe ich keine Vorstellung. Kann mir jemand
helfen?
Danke im voraus
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> Die Anzahl X der an die IT-Abteilung gemeldeten Fehler
> beträgt im Mittel 4,2 Fehler am Tag
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> a) Wie groß ist ist unter der Annahme einer
> Poissonverteilung für X die Wahrscheinlichkeit, daß an
> einen Tag kein Fehler gemeldet wird?
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> b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den 220
> Arbeitstagen eines Jahres ingesamt mehr als 1000 Fehler
> gemeldet werden
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> Antwort zu a) Habe ich 0,014 =1,4% ermittelt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zur Aufgabe b) habe ich keine Vorstellung. Kann mir
> jemand
> helfen?
Die Summe von stochastisch unabhängigen poisson-verteilten Zufallsvariablen ist wieder poisson-verteilt: und zwar ist der Parameter der Summe gleich der Summe der Parameter der so summierten Zufallsvariablen.
Bei Teilaufgabe b) betrachtest Du einfach die Summe von 220 stochastisch unabhängigen, mit Parameter [mm] $\lambda [/mm] = 4,2$ poisson-verteilten Zufallsvariablen und fragst, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese (wieder, und zwar mit Parameter [mm] $\lambda'=220\cdot [/mm] 4,2$, poissonverteilte) Summe einen Wert $>1000$ annimmt.
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Kannst du mir bitte für den Teil b den Rechenweg zeigen
Wenn ich deine Erklärung richtig verstanden habe, habe ich Teil a dieser Aufgabe richtig berechnet
Danke
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> Kannst du mir bitte für den Teil b den Rechenweg zeigen
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> Wenn ich deine Erklärung richtig verstanden habe, habe ich
> Teil a dieser Aufgabe richtig berechnet
Also eine eigentliche Erklärung war's ja nicht, nur ein Finger- bzw. Daumenzeig: dass Deine Lösung (meiner unmassgeblichen Meinung nach) ok ist.
b) Seien also [mm] $X_{k=1,\ldots, 220}:=$'Anzahl [/mm] gemeldete Fehler am Tag $k$' unabhängig, identisch mit Parameter $4,2$ poisson-verteilte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der in 220 Arbeitstagen insgesamt gemeldeten Fehler $X := [mm] X_1+X_2+\cdots [/mm] + [mm] X_{220}$ [/mm] (eine mit Parameter [mm] $\lambda [/mm] = [mm] 220\cdot [/mm] 4,2$ poisson-verteilte Zufallsvariable) einen Wert grösser als 1000 annimmt ist:
[mm]\mathrm{P}(1000< X)=1-\mathrm{P}(X\leq 1000)=1-\sum_{k=0}^{1000} \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}\approx 0.0064[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Man kann diese Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(X\leq [/mm] 1000)$ natürlich auch approximativ mit Hilfe der Normalverteilung bestimmen (Stichwort: zentraler Grenzwertsatz). Es stellt sich ja die Frage, wie denn nun konkret die Summe [mm] $\sum_{k=0}^{1000} \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}$ [/mm] berechnet werden kann. Dieses Problem stellt sich bei einer Normalapproximation natürlich nicht. Dafür leidet die Genauigkeit. Es ist heute einfach von kostenlosen Werkzeugen ein genaueres Ergebnis in Windeseile berechnen zu lassen. So kann man etwa mit der Programmiersprache Python mit wenigen Zeilen den Wert von [mm] $\mathrm{P}(1000
>python
>>> from scipy import stats
>>> 1.0-stats.poisson.cdf(1000,220*4.2)
0.00641425430696
>>>
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Hi
Ich würde gerne verstehen, wie ich das rechnen muss mit den Werten 1000 und 924(220*4,2) lässt sich mit kein taschenrechner rechnen.
Ich habe mit der Approximation durch Normalverteilung gerechnet,
mit der Formel der lokalen Nährung
Ich komme nicht an den Wert rechnerisch 0,0064
Danke
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> Hi
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> Ich würde gerne verstehen, wie ich das rechnen muss mit den
> Werten 1000 und 924(220*4,2) lässt sich mit kein
> taschenrechner rechnen.
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> Ich habe mit der Approximation durch Normalverteilung
> gerechnet,
> mit der Formel der lokalen Nährung
> Ich komme nicht an den Wert rechnerisch 0,0064
Statt zu verwenden, dass die Gesamtzahl der in 220 Tagen gemeldeten Fehler [mm] $X=X_1+X_2+\cdots +X_{220}$ [/mm] eine mit Parameter [mm] $220\cdot [/mm] 4,2$ poisson-verteilte Zufallsvariable ist, können wir uns auch direkt auf den ![[]](/images/popup.gif) zentralen Grenzwertsatz stützen, um die Verteilung einer solchen Summe $X$ näherungsweise zu bestimmen. Die [mm] $X_{n=1,\ldots,220}$ [/mm] haben Erwartungswert $p=4,2$ und Varianz [mm] $\sigma^2=4,2$ [/mm] (Eigenschaft der Poissonverteilung dieser Zufallsvariablen). Und daher ist, bei angenommener Unabhängigkeit der Fehlerzahlen [mm] $X_n$, [/mm] der Erwartungswert der Zufallsvariablen [mm] $X:=\sum_{n=1}^{220}X_n$ [/mm] gleich [mm] $220\cdot p=220\cdot [/mm] 4,2$ und ihre Varianz ist [mm] $220\cdot \sigma^2=220\cdot [/mm] 4,2$. Also erhalten wir:
[mm]\mathrm{P}(1000<\sum_{n=1}^{220}X_n)=1-\mathrm{P}(\sum_{n=1}^{220}X_n\leq 1000)=1-\mathrm{P}\left(\frac{\sum_{n=1}^{220}X_n-220\cdot 4,2}{\sqrt{220\cdot 4,2}}\leq \frac{1000-220\cdot 4,2}{\sqrt{220\cdot 4,2}}\right)\approx 1-\Phi\left(\frac{1000-220\cdot 4,2}{\sqrt{220\cdot 4,2}}\right)\approx 0.0062[/mm]
wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die kummulierte Standard-Normalverteilung ist, die man entweder in einer tabellierten Form benötigt - oder dann durch einen geeignet leistungsfähigen Rechner muss berechnen lassen können.
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Hallo
Kannst du mir verrat wie man den Wert auch ohne Computerprogramm berechnen kann. Es kommen Werte zustande, dieman weder in Tabellen ablesen kann noch mit ein TI Taschenrechner berechnen kann. Das ist eigentlöich eine alte Klausuraufgabe.
Und mit der Normalaproximation kann ich gar nichts anfangen.
Danke im vorraus
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> Hallo
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> Kannst du mir verrat wie man den Wert auch ohne
> Computerprogramm berechnen kann. Es kommen Werte zustande,
> dieman weder in Tabellen ablesen kann noch mit ein TI
> Taschenrechner berechnen kann.
TI-Taschenrechner? - Welches Modell? - Mit den CAS-Rechnern wie TI-89, Voyage-200 und TI-nSpire sollte dies durchaus möglich sein.
Die direkte Summation und mit Hilfe der im "Calculus"-Menü zu findenden Summationsfunktion "sum" dürfte kaum praktikabel sein (zuviele Summanden, zu grosse Zahlen).
Aber man könnte die Dichtefunktion der approxmierenden Normalverteilung numerisch integrieren lassen.
Eine andere Möglichkeit ist einen geeigneten Statistik-Zusatz zu diesen TI-Taschenrechnern zu verwenden, die kummulierte Standard- und vielleicht sogar Poisson-Verteilungen berechnen können.
>Das ist eigentlich eine alte Klausuraufgabe.
Wie alt? Und inwiefern kannst Du sicher sein, dass Dein Stoffplan heute exakt derselbe ist wie damals?
>
> Und mit der Normalaproximation kann ich gar nichts
> anfangen.
Schade. Unter Normalapproximation verstand ich im Kontext dieser Aufgabe die Approximation der Poissonverteilung mit Parameter [mm] $220\cdot [/mm] 4,2$ durch die Standard-Normalverteilung, die hier (unter geeigneten Annahmen wie Unabhängigkeit der Fehlerzahlen an den verschiedenen Tagen) gemäss dem Zentralen Grenzwertsatz möglich ist.
Nachtrag (1. Revision): Die Berechnung mittels Integration der Dichtefunktion einer mit Erwartungswert [mm] $\mu=220\cdot [/mm] 4,2=924$ und Varianz [mm] $\sigma^2 =220\cdot [/mm] 4,2=924$ normalverteilten Zufallsvariablen ergibt:
[mm]\mathrm{P}(1000
wie gehabt (siehe oben).
Der TI-89 gesteht aber ein: "questionable accuracy". Gut: man hätte die Verteilung eben auch standardisieren können. Dies wäre dann
[mm]\mathrm{P}(1000
Diese Eingabe führt zu keiner Genauigkeitswarnung mehr, ist aber natürlich dennoch nur eine Normalapproximation der Poissonverteilung.
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