Wahrs. für Fehler 2. Art < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ein Fabrikant behauptet, dass bei der Lieferung eines Massenartikels der Ausschussanteil höchstens 10% betrage. Der Abnehmer stellt fest, dass bei einem Stichprobenumfang von 200 Stück 26 Ausschussstücke enthalten sind. Signifikanzniveau 0,05 |
Wie groß ist die Wahrs. für den Fehler 2. Art, wenn in Wahrheit 16% Ausschuss sind? Lösung: 16,6%
Bloß wie ist der Lösungsweg?
|
|
| |
|
Hi Hannes!
Also ich hab mir da jetzt auch grad mal die Finger wundgerechnet, komme allerdings nie auf deine Lösung von 16,6%.
Zum Ansatz:
Der Abnehmer wird die Hypothese p=0,1 dann annerkennen, wenn die 26 Stk im Annahmebereich liegen. Dies ist der Fall, da erst ab 27 Stk. die Signifikanzgrenze unterschritten wurde. Zur Berechnung: 1- binomcdf (200; 0,1 ; 26) = 0.067 und 1- binomcdf (200; 0,1; 27)= 0,0434.
Daran siehst du, dass erst die Wahrscheinlichkeiten für X [mm] \ge [/mm] 27 unter 5% liegt.
Da also die 26 Stk im Annahmebereich liegen, wird der Abnehmer die Hypothese p=0,1 für korrekt erklären.
Da wir nun aber wissen, dass diese Hypothese falsch ist, können wir nun die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, mit der wir bei einem Ergebnis im Annahmebereich landen.
D.h. wir berechnen mit der Hypothese p=0,16 die Wahrscheinlichkeit für X [mm] \le [/mm] 26: binomcdf (200;0,16;26)= 0,1435.
Damit wäre der Fehler 2. Art: 14,35%
(Dies entspricht leider nicht deinen 16,6%. Bist du sicher, dass diese lösung stimmt?)
(An alle anderen: Falls ich einen Fehler gemacht habe, bitte sofort korrigieren!!!)
|
|
|
| |
|
Die 16,6% stimmen auf alle Fälle. Geht es vielleicht mit dem Satz von Bayes? Vielen Dank für Deine Mühe, Katha!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Der Fehler 2. Art beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine falsche Hypothese doch angenommen wird. D.h. die Stichprobe liegt im Annahmebereich für die [mm] H_0-Hypothese [/mm] (10%), obwohl eigentlich 16% defekt sind.
Du musst also zuerst den Annahmebereich bestimmen.
Also genau das [mm] x_0 [/mm] mit : [mm] P(X\ge x_0)\le [/mm] 0.05 bzw. [mm] P(X\le x_0)\ge [/mm] 0.95 für X entsprechend der [mm] H_0-Hypothese [/mm] 10%.
Danach musst du dann in Erfahrung bringen wie wahrscheinlich [mm] P(X\le x_0) [/mm] ist, für X nach 16% tatsächlicher Fehlerrate.
Ciao.
|
|
|
| |
|
Ich steh völlig auf dem Schlauch. Kannst du mir das bitte "vorrechnen"? Wäre prima! Besten Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:24 Di 19.02.2008 | | Autor: | Zneques |
achja, erstmal noch nachträglich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Antwort von Katha2705 ist völlig ok. Es kann sich also nur um Tipp-/Rundungsfehler handeln.
Wenn x abgelehnt wird, dann gilt:
[mm] P(X\ge x)\le [/mm] 0.05 bzw. [mm] P(X\le x)\ge [/mm] 0.95.
Also
[mm] P_{10}(X\le [/mm] x)= [mm] \summe_{i=0}^{x-1}\vektor{200\\i}*(p)^i*(1-p)^{200-i}= \summe_{i=0}^{x-1}\vektor{200\\i}*(0.1)^i*(0.9)^{200-i}\ge [/mm] 0.95
Das also die Summe der ersten x-1 Elemente der Binomialvt. mit Parameter n=200, k=i, und p.
Suche dir besser irgendwelche Programme die dir das Ergebnis anzeigen, da es von Hand ewig dauern würde.
Mein Rechner sagt auch 27 wäre der erste Wert des Ablehnungsbereich.
Es liegt also ein Fehler 2. Art vor, da die 26 Defekte aktzeptiert werden, obwohl die [mm] H_0-Hypothese [/mm] falsche ist.
Die W.-keit dafür ist :
[mm] P_{16}(X\le [/mm] 26)= [mm] \summe_{i=0}^{26}\vektor{200\\i}*(p)^i*(1-p)^{200-i}= \summe_{i=0}^{26}\vektor{200\\i}*(0.16)^i*(0.84)^{200-i}=0.1435
[/mm]
Ciao.
|
|
|
|
