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| Aufgabe | Wir betrachten eine Wärmeleitung durch eine Wand. Diese sei unendlich ausgedehnt, so dass wir die Temperatur u(x,t) nur in Abhängigkeit von der Wandtiefe x (0 [mm] \le x\le [/mm] L) betrachten können. Bei x=0 sei innen, bei x=L=0,24m außen.
Die wärmeleitugsgleichung ist
[mm] u_{xx}=\bruch{1}{K}u_{t}
[/mm]
wobei die Wärmeleitfähigkeit [mm] K=5,27*10^{-7} \bruch{m^{2}}{s} [/mm] für eine Zigelmauer beträgt.
Zum Zeitpunkt t=0 herschen die konstante Temperatur [mm] u_{0}, [/mm] d.h.
[mm] u(x,0)=u_{0}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L
vom Zeitpunkt t=0 bis zum Zeitpunkt [mm] t_{1}=4h [/mm] heizen wir innen mit einem konstanten Wärmestrom Q. Somit lauten die Randbedingungen.
[mm] u_{x}(0,t)=\begin{cases} -\bruch{Q}{D}, & \mbox{für } 0\le t \le t_{1}\\ 0, & \mbox{für } t>t_{1} \end{cases}
[/mm]
[mm] u(L,t)=u_{0}
[/mm]
Die Materialkonstante D beträgt [mm] 0,79\bruch{W}{mK}
[/mm]
(a) Erklären Sie, welche Modellanahme mit der Randbedingung an der Außenwand (x=L) getroffen wurde.
(b) Wir wollen das Anfangswertproblem zunächst im Intervall 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le t_{1} [/mm] lösen. Finden Sie eine Funktion [mm] u_{1}(x,t), [/mm] die die Differentialgleichung und die Randbedingung in diesem Zeitintervall erfüllt!
(c) Wir machen für das Anfangsrandproblem den Ansatz [mm] u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t) [/mm] mit einer noch zu bestimmenden Funktion [mm] u_{2}. [/mm] Welche Anfangs- und Randbedingungen muss [mm] u_{2} [/mm] erfüllen? |
Hallo an alle Mathematikbegeisterte unter euch!! ^__^
Ich hab dieses Semester PDGL und hab nun dieses Hammer als "Übungsaufgabe" bekommen. Ich habe leider nur nicht so richtig den Zugang zu dieser Aufgabe gefunden. Vielleicht kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen. Wie ich auch an diese Art Aufgaben ran gehen kann und zu speziell dieser Aufgabe nen Lösungsansatz. Das wäre wirklich super.
Danke schon mal!!
LG Leni-chan
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Hallo Leni-Chan,
> Wir betrachten eine Wärmeleitung durch eine Wand. Diese sei
> unendlich ausgedehnt, so dass wir die Temperatur u(x,t) nur
> in Abhängigkeit von der Wandtiefe x (0 [mm]\le x\le[/mm] L)
> betrachten können. Bei x=0 sei innen, bei x=L=0,24m außen.
> Die wärmeleitugsgleichung ist
> [mm]u_{xx}=\bruch{1}{K}u_{t}[/mm]
> wobei die Wärmeleitfähigkeit [mm]K=5,27*10^{-7} \bruch{m^{2}}{s}[/mm]
> für eine Zigelmauer beträgt.
> Zum Zeitpunkt t=0 herschen die konstante Temperatur [mm]u_{0},[/mm]
> d.h.
> [mm]u(x,0)=u_{0},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] L
> vom Zeitpunkt t=0 bis zum Zeitpunkt [mm]t_{1}=4h[/mm] heizen wir
> innen mit einem konstanten Wärmestrom Q. Somit lauten die
> Randbedingungen.
> [mm]u_{x}(0,t)=\begin{cases} -\bruch{Q}{D}, & \mbox{für } 0\le t \le t_{1}\\ 0, & \mbox{für } t>t_{1} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]u(L,t)=u_{0}[/mm]
> Die Materialkonstante D beträgt [mm]0,79\bruch{W}{mK}[/mm]
>
> (a) Erklären Sie, welche Modellanahme mit der Randbedingung
> an der Außenwand (x=L) getroffen wurde.
> (b) Wir wollen das Anfangswertproblem zunächst im
> Intervall 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le t_{1}[/mm] lösen. Finden Sie eine Funktion
> [mm]u_{1}(x,t),[/mm] die die Differentialgleichung und die
> Randbedingung in diesem Zeitintervall erfüllt!
> (c) Wir machen für das Anfangsrandproblem den Ansatz
> [mm]u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)[/mm] mit einer noch zu bestimmenden
> Funktion [mm]u_{2}.[/mm] Welche Anfangs- und Randbedingungen muss
> [mm]u_{2}[/mm] erfüllen?
> Hallo an alle Mathematikbegeisterte unter euch!! ^__^
>
> Ich hab dieses Semester PDGL und hab nun dieses Hammer als
> "Übungsaufgabe" bekommen. Ich habe leider nur nicht so
> richtig den Zugang zu dieser Aufgabe gefunden. Vielleicht
> kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen. Wie ich auch
> an diese Art Aufgaben ran gehen kann und zu speziell dieser
> Aufgabe nen Lösungsansatz. Das wäre wirklich super.
> Danke schon mal!!
Ein Lösunsansatz ist z.B. der ![[]](/images/popup.gif) Separationsansatz.
>
> LG Leni-chan
Gruß
MathePower
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Ok mit dem Seperationsansatz kann ich durchaus was anfangen, nur weiß ich bei dieser Aufgabe leider gar nicht, wie ich überhaupt an den Punkt komme, um diesen Ansatz wählen zu können. Ihn dann asuführen dürfte nicht ganz so schwer sein, aber wie komme ich da hin?
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Zunächst mal: Die Lösung für [mm] u_1 [/mm] findest du hier. Für [mm] u_2 [/mm] brauchst du jetzt ein Modell, was es bedeutet, wenn man die Heizung abschaltet. Ich würde vermuten, man gleicht sich langsam wieder der Außentemperatur an.
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> Ok mit dem Separationsansatz kann ich durchaus was
> anfangen, nur weiß ich bei dieser Aufgabe leider gar nicht,
> wie ich überhaupt an den Punkt komme, um diesen Ansatz
> wählen zu können. Ihn dann auszuführen dürfte nicht ganz so
> schwer sein, aber wie komme ich da hin?
Hallo Madlen,
ein Ansatz ist so etwas wie ein Versuchsballon. Er könnte
allenfalls platzen. Dann war's halt nix und man muss
einen anderen Ansatz probieren. Der Versuch kann
aber auch gelingen und man findet eine Lösung. Dann
wäre in einem zweiten Schritt allenfalls noch abzuklären,
ob die gefundene Lösung die einzige ist oder ob es noch
andere geben könnte.
Ein Detail zur Aufgabenstellung, das allenfalls stören
könnte: K kommt in zwei Bedeutungen vor, einmal als
Materialkonstante und dann auch noch als Masseinheit
Kelvin für die Temperatur. Bitte nicht in diese Fallgrube
stolpern ...
LG Al
Nachtrag:
Die "1-dimensionale Fundamentallösung" der Wärmelei-
tungsgleichung, die in dem von generation...x angegebenen
Wiki-Artikel steht, gehorcht dem obigen Separationsansatz
nicht. Man könnte sie allenfalls mit einem Ansatz
der Form
[mm] $\blue{u(x,t)=f(t)*e^{g(x,t)}}$
[/mm]
finden. Um aber ohne Vorkenntnisse über die Lösung
überhaupt erst einmal auf einen solchen Ansatz zu
kommen, habe ich leider auch kein Rezept. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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