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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 30.06.2007 | | Autor: | binoy83 |
| Aufgabe | Ein Arbeitnehmer zahle jeweils am Jahresende 20% seines Nettoarbeitseinkommens auf ein Sparkonto ein.
Das Nettoarbeitseinkommen steige jedes Jahr um einen
konstanten Faktor.
Die erste Einzahlung erfolgt am 31.12.1974.
Welchen Wert nimmt das Gesparte bei einem anfänglichen Nettoarbeitseinkommen von 10.000 am Anfang des Jahres 2000 an bei einem Zinssatz von 8% p.a. und einem Wachstumsfaktor von:
q=1,00: g(26; 8%; 1,00) = 10,809978 (=a(26; 8%))
mit 1,0826 = 7,396353 folgt: 159.908,83
q=1,05: g(26; 8%; 1,05) = 17,308893 : 256.045,37
q=1,10: g(26; 8%; 1,10) = 30,567924 : 452.182,33 |
Hallo Miteinander;
Könnt ihr mir erklären, wie mein Prof auf diese Lösung kommt???
Hab null peil, wie ich das rechnen soll.
Danke im vorraus für die Hilfe.
Gruß
Binoy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Sa 30.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Irgendwie fehlt das Ende der Aufgabe bzw. das verquirlt sich mit der Auflösung (???).
Im Jahr 1974 werden 2.000,-- gespart. Diese werden 26 Jahre lang mit 8 % p.a. verzinst. Das kann man noch erkennen.
Wie viel werden denn im Jahre 1975 gespart?
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Meines Erachtens müsste die Formel dann lauten
[mm] \summe_{i=0}^{26}2000*q^{i}*1.08^{(26-i)}
[/mm]
wobei q der Wachstumsfaktor ist.
[mm] 2000*q^{i} [/mm] ist die Ersparnis im Jahre i nach 1974.
Und der Faktor [mm] 1.08^{(26-i)} [/mm] sind die jeweiligen Zinsen für diese Ersparnis
Wenn dein Prof ein gutes Computerprogramm hat, dann kann er damit das Ergebnis wohl schnell rauskriegen. Ansonsten muss man das mühsam ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo rabilein
Der Prof braucht nur nen TR, wenn er ein bissel umformt:>
>
> [mm]\summe_{i=0}^{26}2000*q^{i}*1.08^{(26-i)}[/mm]
[mm]\summe_{i=0}^{26}2000*q^{i}*1.08^{(26-i)}=2000*1.08^{26}*\summe_{i=0}^{26}q^{i}*1.08^{-i}=2000*1.08^{26}*\summe_{i=0}^{26}(q/1.08)^{i}[/mm]
und jetzt die Summe als Formel.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich habe verstanden, dass du die konstanten Faktoren aus der Summe rausgezogen und vor das Summenzeichen gesetzt hast und dann vereinfachend umgeformt hast. So sieht die Formel natürlich "schöner" aus.
Was meintest du mit "die Summe als Formel"?
Kann man das jetzt noch weiter umformen, oder kann ein TR so etwas berechnen? Aber dann müsste er doch eigentlich auch die ursprüngliche Formel berechnen können, denn einem TR kann es doch egal sein, ob ein fester Faktor innerhalb oder außerhalb der Summe steht, und ob die Formel "schön einfach" oder kompliziert ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 01.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo rabilein!
Für den Summenausdruck kannst Du nun die Summenformel für geometrische Folgen verwenden mit:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}q^n [/mm] \ = \ [mm] q^0+q^1+q^2+...+q^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}$
[/mm]
Das heißt für diese Aufgabe also: [mm] $\summe_{i=0}^{26}\left(\bruch{q}{1.08}\right)^i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(\bruch{q}{1.08}\right)^{27}-1}{\bruch{q}{1.08}-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:36 So 01.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich kenne die richtige Formel zwar nicht, aber irgend etwas scheint an dieser Formel nicht zu stimmen, da allein schon
[mm] q^{n}>\bruch{q^{n}-1}{q-1}
[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 14:18 So 01.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo l
Loddar
du hast ein +1 in der Summenformel vergessen:
[mm] $\summe_{i=0}^{n}qî [/mm] = [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}$
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 So 01.07.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo B inoy,
> Ein Arbeitnehmer zahle jeweils am Jahresende 20% seines
> Nettoarbeitseinkommens auf ein Sparkonto ein.
> Das Nettoarbeitseinkommen steige jedes Jahr um einen
> konstanten Faktor.
> Die erste Einzahlung erfolgt am 31.12.1974.
> Welchen Wert nimmt das Gesparte bei einem anfänglichen
> Nettoarbeitseinkommen von 10.000 am Anfang des Jahres 2000
> an bei einem Zinssatz von 8% p.a. und einem Wachstumsfaktor
> von:
>
> q=1,00: g(26; 8%; 1,00) = 10,809978 (=a(26; 8%))
> mit 1,0826 = 7,396353 folgt: 159.908,83
> q=1,05: g(26; 8%; 1,05) = 17,308893 : 256.045,37
> q=1,10: g(26; 8%; 1,10) = 30,567924 : 452.182,33
> Hallo Miteinander;
>
> Könnt ihr mir erklären, wie mein Prof auf diese Lösung
> kommt???
Bei einem Wachstumsfaktor von 1 % errechnet sich ein Endkapital von 159.908,83 wie folgt nach der Formel:
[mm]2.000*\bruch{1,08^{26}-1^{26}}{1,08-1} = K_{26}[/mm]
[mm] K_{26} [/mm] = 159.908,83
Viele Grüße
Josef
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