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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:45 Do 25.05.2006 | | Autor: | elvira |
| Aufgabe | Berechnen Sie die übrigen Asymptoten aus der Ersatzfunktion:
[mm] f_e (x) = \bruch {x-3}{-x-2} [/mm] |
Hallo Ihr Lieben,
bräucht bitte Eure Hilfe in Unendlichkeitsdingen:
Wenn ich also hier das x gegen unendlich laufen lassen möchte, hab ich dies immer so gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {x-3}{-x-2} [/mm]
dann hab ich alles durch die höchste vorkommende Potenz von x geteilt, hier [mm] x^1:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {\bruch {x}{x}- \bruch {3}{x}} {\bruch {-x}{x}- \bruch {2}{x}} [/mm]
ergibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {1- \bruch {3}{x}} {-1 - \bruch {2}{x}} [/mm]
und wenn ich jetzt 3 durch unendlich viel teil, bleibt nix, also null und bei 2 das gleiche, also ergibt dies -1 und schon hab ich meine waagrechte Asymptote...
dachte ich... jetzt heißt es, dass ich x nur gegen + unendlich laufen hab lassen, aber nicht gegen - unendlich, aber was soll hier anderes raus kommen?? wenn ich 3 bzw. 2 durch negativ unendlich viel teile, bleibt doch auch nichts, oder?
Meine konkrete Frage wär jetzt also, warum kann es sein, dass bei
- unendlich was anderes rauskommt?
Vielen lieben Dank!
Elvira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 25.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Berechnen Sie die übrigen Asymptoten aus der
> Ersatzfunktion:
> [mm]f_e (x) = \bruch {x-3}{-x-2}[/mm]
> Hallo Ihr Lieben,
Hallo Elvira.
> bräucht bitte Eure Hilfe in Unendlichkeitsdingen:
>
> Wenn ich also hier das x gegen unendlich laufen lassen
> möchte, hab ich dies immer so gemacht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {x-3}{-x-2}[/mm]
>
> dann hab ich alles durch die höchste vorkommende Potenz von
> x geteilt, hier [mm]x^1:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {\bruch {x}{x}- \bruch {3}{x}} {\bruch {-x}{x}- \bruch {2}{x}}[/mm]
>
> ergibt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch {1- \bruch {3}{x}} {-1 - \bruch {2}{x}}[/mm]
Um ehrlich zu sein, dieses Verfahren habe ich noch nie gesehen. Aber es scheint zu Funktionieren. Auf der anderen Seite kannst du für (waagerechte/schräge) Asymptoten auch die klassische Polynomdivision nehmen.
> und wenn ich jetzt 3 durch unendlich viel teil, bleibt nix,
> also null und bei 2 das gleiche, also ergibt dies -1 und
> schon hab ich meine waagrechte Asymptote...
> dachte ich... jetzt heißt es, dass ich x nur gegen +
> unendlich laufen hab lassen, aber nicht gegen - unendlich,
> aber was soll hier anderes raus kommen?? wenn ich 3 bzw. 2
> durch negativ unendlich viel teile, bleibt doch auch
> nichts, oder?
Richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die waagerechnte Asymptote ist y=-1
Das gilt für [mm] x=\pm \infty
[/mm]
>
> Meine konkrete Frage wär jetzt also, warum kann es sein,
> dass bei
> - unendlich was anderes rauskommt?
Wie kommst du da jetzt drauf? Das kann eigentlich gar nicht sein.
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch [/mm] {1- [mm] \bruch [/mm] {3}{x}} {-1 - [mm] \bruch [/mm] {2}{x}}$
Wie du schon sagtest, teilst du zum Beispiel die zwei durch sehr große (positive Zahlen), erhälst du ein Ergebnis nahe null. Teilst du die zwei durch sehr 'große' negative Zahlen (eigentlich müsste ich ja sehr kleine Zahlen sagen, ich meine so etwas wie -10000000), dann erhälst du auch ein Ergebnis nahe null, nur eben negativ.
Wie du also schon sagtest, in diesem Fall gibt es keinen Unterschied!
Alles klar? Ansonsten frag ruhig noch einmal nach.
> Vielen lieben Dank!
> Elvira
>
Beste Grüße,
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 25.05.2006 | | Autor: | elvira |
Hallo Disap!
Danke für Deine schnelle Antwort!
Ich bin ziemlich erleichtert, dass - unendlich das gleiche Ergebnis bringt...
... werd zukünftig sagen, ja natürlich, hab gleichzeitig für + und - unendlich gerechnet, brachte beides das gleiche Ergebnis...
Aber Dein Einwurf mit der Polynomdivison interessiert mich jetzt:
was wird hier für die waagrechte Asymptote geteilt?
hab mir jetzt mal die Ersatzfunktion vorgeknöpft, da kommt tatsächlich -1 raus, aber es bleibt ein Rest von -5; was bedeutet dies? Ich hatte noch keine Polynomdivison mit Rest...
Würdest Du mir bitte hierzu noch kurz helfen?
Dankeschön!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 25.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo Disap!
Servus!
> Danke für Deine schnelle Antwort!
> Ich bin ziemlich erleichtert, dass - unendlich das gleiche
> Ergebnis bringt...
>
> ... werd zukünftig sagen, ja natürlich, hab gleichzeitig
> für + und - unendlich gerechnet, brachte beides das gleiche
> Ergebnis...
>
> Aber Dein Einwurf mit der Polynomdivison interessiert mich
> jetzt:
Das mit der Polynomdivision wird insofern wichtig, dass es auch gebrochenrationale Funktionen gibt, die schräge Asymptoten haben. Die kann man damit berechnen, sodass sich diese gebrochenrationale Funktion eben einer Geraden (oder auch Parabel usw.) annähert.
> was wird hier für die waagrechte Asymptote geteilt?
Man teilt einfach den Zähler durch den Nenner.
> hab mir jetzt mal die Ersatzfunktion vorgeknöpft, da kommt
> tatsächlich -1 raus, aber es bleibt ein Rest von -5; was
> bedeutet dies? Ich hatte noch keine Polynomdivison mit
> Rest...
Man rechnet:
$(x-3):(-x-2) = [mm] -1+\frac{-5}{-x-2}$ [/mm]
Das ist ganz genau das, was du auch heraus bekommen hast. Also hast du alles richtig gemacht ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Aber schreiben wir den Term mal schöner auf: minus durch minus ist ja plus. Es ergibt sich dann:
[mm] $-1+\frac{5}{x+2}$ [/mm]
(Das muss man nicht machen, aber ich finds für folgende Erklärung schöner)
Unsere vorläufige Asymptote lautet nun:
[mm] $y=-1+\frac{5}{x+2}$ [/mm]
Und um endlich auf deine Frage zu antworten ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") , was man mit dem Rest macht:
Hier kommt nun der Limes ins Spiel, man lässt das x wieder gegen plus/minus unendlich laufen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} -1+\underbrace{\frac{5}{x+2}}_{\rightarrow 0} [/mm] = -1$
Zu Unendlich im Nenner wird noch zwei dazu addiert, das macht den Kohl aber auch nicht mehr fett.
Das selbe macht man ebenfalls noch einmal für x gegen minus unendlich
[mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty} -1+\underbrace{\frac{5}{x+2}}_{\rightarrow 0} [/mm] = -1$
Unsere Asymptote lautet nun $y=-1$
Denn der 'Rest' beeinflußt die Asymptote kaum.
> Würdest Du mir bitte hierzu noch kurz helfen?
Ich hoffe, ich konnte es. Aber bei deinem Talent für Mathematik hätte ich mich wohl auch sehr viel kürzer fassen können.
> Dankeschön!!
MfG!
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 25.05.2006 | | Autor: | elvira |
Wundervoll!
Danke viel!
Gut Nacht, Elvira
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