W'dichte von X+Y bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 24.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha>0. [/mm] Desweiteren seien X und Y unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter [mm] \alpha.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von X+Y. |
Tag Leute,
also die Wahrscheinlichkeitsdichte von X+Y wurde bei uns definiert als die Faltung der beiden Dichten [mm] f_X [/mm] und [mm] g_Y, [/mm] wobei [mm] f_X [/mm] die Dichte von X und [mm] g_Y [/mm] die Dichte von Y ist, d.h. es gilt:
[mm] (f\ast{g})(u):=\integral_{\IR} f(u-y)g(y)dy=\integral_{\IR_{>0}} \alpha\cdot{}e^{-\alpha(u-y)}\cdot{}\alpha\cdot{}e^{-\alpha\cdot{y}}dy=\integral_{\IR_{>0}} \alpha^2e^{-\alpha\cdot{u}}dy=??
[/mm]
Das würde ja heißen es gibt hier gar keine Dichte für X+Y, weil das Integral [mm] \infty [/mm] ist oder wie muss ich das verstehn? Oder hab ich irgendwo Mist hingeschrieben??
Vielen Dank schon mal!
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Hallo,
> Sei [mm]\alpha>0.[/mm] Desweiteren seien X und Y unabhängig und
> jeweils exponentialverteilt mit Parameter [mm]\alpha.[/mm]
> Bestimmen Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von X+Y.
> Tag Leute,
> also die Wahrscheinlichkeitsdichte von X+Y wurde bei uns
> definiert als die Faltung der beiden Dichten [mm]f_X[/mm] und [mm]g_Y,[/mm]
> wobei [mm]f_X[/mm] die Dichte von X und [mm]g_Y[/mm] die Dichte von Y ist,
> d.h. es gilt:
>
> [mm](f\ast{g})(u):=\integral_{\red{-\infty < y < u}} f(u-y)g(y)dy=\integral_{\red{0 < y < u}} \alpha\cdot{}e^{-\alpha(u-y)}\cdot{}\alpha\cdot{}e^{-\alpha\cdot{y}}dy=\integral_{0 < y < u} \alpha^2e^{-\alpha\cdot{u}}dy=??[/mm]
Achte darauf, dass auch die Integrationsgrenzen bei der Faltung nicht beliebig sind! (Siehe rot markiertes).
Du kannst beliebig viele unabhängige exponentialverteilte Größen falten und erhältst dann die so genannte Erlang-Verteilung.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Do 24.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, danke für den Hinweis!
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