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Untersuchen sie in Abhängigkeit von dem Parameter a die durch [mm] a_{1}=a [/mm] und
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}}) [/mm] gegebene Folge auf Monotonie und Konvergenz.
Kann mir da jemand ein Tip geben wie man da vorgeht
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> Untersuchen sie in Abhängigkeit von dem Parameter a die
> durch [mm]a_{1}=a[/mm] und
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm] gegebene
> Folge auf Monotonie und Konvergenz.
>
> Kann mir da jemand ein Tip geben wie man da vorgeht
Hallo,
sind hier nur a>0 zugelassen oder auch negative?
Prinzipiell würde ich mir hier erstmal für irgendein a die ersten 10 Folgenglieder ausrechnen, um ein Gefühl für das Verhalten zu bekommen und Ideen zu schöpfen, was ich beweisen möchte.
Recht attraktiv ist es ja immer, wenn es einem gelingt, Monotonie und Beschränktheit zu zeigen. Warum?
Du kannst Dir auch schon überlegen, wogegen die Folge im Falle (!) der Konvergenz konvergieren würde. Nimm dazu an, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=x [/mm] ist,
überlege Dir, welche Gleichung Du aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})
[/mm]
bekommst,
berechne aus der entstehenden Gleichung die möglichen Grenzwerte. (Ob es wirklich Grenzwerte sind, ist damit aber noch nicht klar.).
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:57 Do 26.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Untersuchen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die durch [mm] a_{1}=a [/mm] und gegebene Folge auf monotonie und Konvergenz
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})
[/mm]
Lösung
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})=a_{2}=\bruch{1}{3}(a_{1}+1+\bruch{6}{a_{1}})=a_{2}=\bruch{1}{3}a_{1}(2+\bruch{6}{a_{n^{2}}})=a_{3}=\bruch{1}{3}a_{2}(2+\bruch{6}{a_{n^{2}}})\Rightarrow a_{n+1} =\bruch{1}{{3}^{n}}\ a_{1} \produkt_{i=1}^{n}\ (2+\bruch{6}{a_{{n}^{2}}})
[/mm]
Der Grenzwert dieser Reihe ist 2 und diese Reihe ist monoton wachsend
Ist das richtig
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> Untersuchen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die durch
> [mm]a_{1}=a[/mm] und gegebene Folge auf monotonie und Konvergenz
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm]
>
> Lösung
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})=a_{2}=\bruch{1}{3}(a_{1}+1+\bruch{6}{a_{1}})=a_{2}=\bruch{1}{3}a_{1}(2+\bruch{6}{a_{n^{2}}})=a_{3}=\bruch{1}{3}a_{2}(2+\bruch{6}{a_{n^{2}}})\Rightarrow a_{n+1} =\bruch{1}{{3}^{n}}\ a_{1} \produkt_{i=1}^{n}\ (2+\bruch{6}{a_{{n}^{2}}})[/mm]
>
> Der Grenzwert dieser Reihe ist 2 und diese Reihe ist
> monoton wachsend
>
> Ist das richtig
Hallo,
Dein "Beweis" ist sicher nicht richtig.
Auch hier gilt das, was ich Dir schon mehrfach gesagt habe: wenn Du aufschreiben würdest, was Du im einzelnen zeigen möchtest, würde nicht nur dem Leser, sondern auch Dir das Verständnis erleichtert werden.
Für den potentiellen Helfer hätte es den Vorteil, daß man Fehlverständnisse wirklich erklären könnte. So sieht man ein paar Zeichen, es bleiben Ratlosigkeit und Kopfschütteln angesichts der zusammenhanglosen Aneinanderreihung.
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Notwendige Vorarbeiten für die Lösung der Aufgabe - vorher brauchst Du gar nicht mit irgendeiner Rechnung zu beginnen, es wäre vollkommen sinnlos, verplemperte Zeit, in der Du besser ein Bierchen tränkest :
- Ist die Folge eigentlich monoton wachsend? Hast Du mal Deinen Taschenrechner befragt dazu?
Da Du in Abhängigkeit in a untersuchen sollst, liegt der Verdacht nahe, daß das Verhalten möglicherweise auch von Startwert abhängt.
- Hast Du die Folge mal für verschiedene Startwerte, etwa 1,2, 3, 20, 0.1, -0.1, -1, -2, -3, -20 untersucht?
Unter gewissen Umständen ist der Grenzwert der Reihe tatsächlich =2.
-Wie hast Du das herausgefunden? Welche beiden Grenzwere sind prinzipell möglich?
- Weißt Du überhaupt, was Montonie einer Folge ist? Definition? Was ist also zu zeigen?
- Kennst Du den Unterschied zwischen Grenzwert und oberer Schranke? Definitionen?
- Wie lautet eigentlich der schöne Satz, der einem etwas erzählt über Monotonie und Konvergenz?
- Wenn Du ihn verwenden wolltest, was wäre dann zu zeigen?
Gruß v. Angela
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Aufgabe
$ [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}}) [/mm] $
Vorgehensweise:
Frei gewählte Startwrte
[mm] 1=\bruch{8}{3},2=2,3=2,4=\bruch{13}{6},5=\bruch{12}{5},6=\bruch{8}{3},...
[/mm]
Wennn diese Werte auf die Monotonie Eigenschaft eine Aussage zulässt bin ich zu dem Ergebnis gekommen das diese Reihe nicht monoton ist.
Jetzt eine Aussage zum Grenzwert
Diese Aussage ist von einer Aufgabe übernommen und auf diese Aufgabe angepasst. Keine Ahnung ob diese Aussage stimmt. Bitte um Antwort
Aussage
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an=a [/mm] existiert, dann muß gelten$ [mm] a=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}}) [/mm] $ [mm] \gdw 3a+1=a+\bruch{6}{a} \gdw a=\bruch{6}{a} \gdw a^{2}=6 \Rightarrow a=\wurzel{6}
[/mm]
Sind meine Schritte nachvollziehbar
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Hallo Christopf,
wieso nimmst Du denn Angelas Hinweise nicht auf, auch wenn sie schon zweieinhalb Wochen alt sind?
> Aufgabe
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm]
>
> Vorgehensweise:
>
> Frei gewählte Startwrte
>
> [mm]1=\bruch{8}{3},2=2,3=2,4=\bruch{13}{6},5=\bruch{12}{5},6=\bruch{8}{3},...[/mm]
>
> Wennn diese Werte auf die Monotonie Eigenschaft eine
> Aussage zulässt bin ich zu dem Ergebnis gekommen das diese
> Reihe nicht monoton ist.
Für den Startwert 1 ist die Reihe nicht monoton. Das hast Du damit gezeigt, nicht mehr, nicht weniger.
> Jetzt eine Aussage zum Grenzwert
>
> Diese Aussage ist von einer Aufgabe übernommen und auf
> diese Aufgabe angepasst. Keine Ahnung ob diese Aussage
> stimmt. Bitte um Antwort
>
> Aussage
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a[/mm] existiert, dann muß
> gelten[mm] a=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm]
Nein. Dann muss gelten [mm] a=\bruch{1}{3}(a+1+\bruch{6}{a})
[/mm]
> [mm]\red{\gdw} 3a\red{+}1=a+\bruch{6}{a} \red{\gdw} a=\bruch{6}{a} \gdw a^{2}=6 \Rightarrow a=\wurzel{6}[/mm]
>
> Sind meine Schritte nachvollziehbar
Die Idee ja, die Ausführung nein. Die Umformungen stimmen nicht.
Du bekommst eine quadratische Gleichung und die beiden Lösungen 2 und [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
Grüße
reverend
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[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})\Rightarrow a=\bruch{1}{3}(a+1+\bruch{6}{a})\Rightarrow 3a=a+1+\bruch{6}{a}\Rightarrow [/mm] 2a [mm] =1+\bruch{6}{a}\Rightarrow 2a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}+6\Rightarrow [/mm] 2a+6 [mm] \Rightarrow [/mm] a=3
Jetzt meine Frage: Sagt mir a=3, das dort der Grenzwert liegt.
Ich habe in meiner letzten Frage diw Werte von 1 bis 8 ein gesetzt und auf die Aussage gekommen das die reihe nicht monoton ist.
Erhlich gesagt weis ich nicht wirklich was mit der Aussage a=3 was anzufangen.
Danke
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edit: Diese Antwort bezog auf die erste Version der Frage, auf die sie Bezug nimmt!
Hallo Christopf,
> Ich habe doch angela ihr Tip angenomen
>
> Ich habe doch die Startwerte 1-8 dargestelt. Ich habe aber
> nicht die negativen Werte wie angela vorschlägt verwendet.
Angela hatte nur gefragt, ob a irgendwelchen Beschränkungen unterliegt. Wenn ich Deine Tabelle jetzt richtig verstehe (wobei die Gleichheitszeichen stören...), dann hast Du also für verschiedene Startwerte [mm] a_1 [/mm] das Folgeglied [mm] a_2 [/mm] berechnet. Daraus kannst Du aber doch noch keine Monotonie folgern bzw. sie widerlegen. Zur Widerlegung bräuchte es mindestens drei Folgeglieder, die der Bedingung nicht entsprechen. Zum Nachweis der Monotonie müsstest Du schon anders ansetzen und allgemein eine Relation zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] zeigen.
> Was sind bei den Umformungen falsch.
Ich habe rot markiert, wo die Fehler sind. Du findest sie bestimmt alleine, das ist Mittelstufenstoff - und Du kannst doch mit Äquivalenzumformungen von Gleichungen rechnen. Die beiden Kontrolllösungen habe ich Dir auch schon angegeben.
> Bin ich richtig wenn
> ich behaupte das der Grenzwert bei richtiger Umformung mir
> eigentlich keine hilfe, eil dieser Grenzwert nur eine
> Vermutung ist
Nein, diese Behauptung kann ich nicht teilen. Wenn Du einen Grenzwert bestimmen kannst, hast Du z.B. das [mm] \varepsilon-n_0-Kriterium, [/mm] um die Konvergenz der Folge und damit die Existenz des schon bestimmten Grenzwerts zu zeigen. Das ginge ohne die begründete Vermutung nicht.
Grüße
reverend
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Hallo Christopf,
ich kann mich nicht erinnern, 3 als Kontrolllösung angegeben zu haben. Meine waren 2 und [mm] -\bruch{3}{2}.
[/mm]
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})\Rightarrow a=\bruch{1}{3}(a+1+\bruch{6}{a})\Rightarrow 3a=a+1+\bruch{6}{a}\Rightarrow[/mm]
> 2a [mm]=1+\bruch{6}{a}[/mm]
Bis hier stimmts.
> [mm] \Rightarrow 2a^{2}=\bruch{1}{a}+6
[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wie das denn?
> [mm] \Rightarrow [/mm] 2a+6 [mm]\Rightarrow[/mm] a=3
Und auch dieser Schritt ist nicht nur ein Folgefehler, sondern ein richtiger.
Von oben mal weiter:
[mm] 2a=1+\bruch{6}{a}\quad [/mm] | *a
[mm] 2a^2=\blue{a}+6\quad [/mm] | -a-6
[mm] 2a^2-a-6=0\quad [/mm] | :2
[mm] a^2-\bruch{1}{2}a-3=0\quad [/mm] | p,q-Formel
[mm] a_{1,2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+3}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{1+48}{16}}=\bruch{1}{4}\pm\bruch{7}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1=2,\quad a_2=-\bruch{3}{2}
[/mm]
> Jetzt meine Frage: Sagt mir a=3, das dort der Grenzwert
> liegt.
Es gibt zwei mögliche Grenzwerte. Gegen welchen von beiden die Folge läuft, hängt vom Startwert ab, aber das ist noch zu zeigen.
> Ich habe in meiner letzten Frage diw Werte von 1 bis 8 ein
> gesetzt und auf die Aussage gekommen das die reihe nicht
> monoton ist.
Und wie bist Du auf diese Aussage gekommen? Ich kann sie aufgrund Deiner Angaben nicht nachvollziehen.
Wie Angela schon mehrmals schrieb: schreib auf, was Du da rechnest. Dann können wir es vielleicht eher verstehen, aber meistens merkst Du sicher schon selbst, woran es hakt. Du machst zuviele Gedankenschritte auf einmal, und dann Fehler.
> Erhlich gesagt weis ich nicht wirklich was mit der Aussage
> a=3 was anzufangen.
Ich auch nicht.
> Danke
Gern.
reverend
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[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}}) [/mm] n=1,2,....
[mm] Startwert:a_{1}=1
[/mm]
[mm] a_{2}==\bruch{1}{3}(a_{1}+1+\bruch{6}{a_{1}})=\bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] a_{3}==\bruch{1}{3}(\bruch{8}{3}+1+\bruch{6}{\bruch{8}{3}})=\bruch{71}{36}
[/mm]
[mm] a_{4}==\bruch{1}{3}(\bruch{71}{36}+1+\bruch{6}{\bruch{71}{36}})=\bruch{15373}{7668}
[/mm]
Wenn ich mich die 4 Glieder dieser Reihe anschaue ist die Reihe weder Monoton fallen noch monoton steigend. Gibt es für diesen Falle einen Mathematischen begriff
Diese Reihe ist aber konvergent. Durch mein frei gewählten Startwert und den 2 Grenzwerten ist die Reihe in beiden Richtungen begrenzt.
Stimmen meine Aussagen und sind meine Überlegungung erkennbar
Danke
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Hallo Christopf,
hmpf. Wenn Du etwas zeigen sollst, genügt es nicht, wenn nur Du es siehst. Du musst den Leser schon darauf aufmerksam machen:
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm] n=1,2,....
>
> [mm]Startwert:a_{1}=1\ \red{<2}[/mm]
>
> [mm]a_{2}==\bruch{1}{3}(a_{1}+1+\bruch{6}{a_{1}})=\bruch{8}{3}\ \red{>2}\blue{>1=a_1}[/mm]
>
> [mm]a_{3}==\bruch{1}{3}(\bruch{8}{3}+1+\bruch{6}{\bruch{8}{3}})=\bruch{71}{36}\ \red{<2}\blue{<\bruch{8}{3}=a_2}[/mm]
>
> [mm]a_{4}==\bruch{1}{3}(\bruch{71}{36}+1+\bruch{6}{\bruch{71}{36}})=\bruch{15373}{7668}\ \red{>2}\blue{>\bruch{71}{36}=a_3}[/mm]
>
> Wenn ich mich die 4 Glieder dieser Reihe anschaue ist die
> Reihe weder Monoton fallend noch monoton steigend.
Was man erst wirklich als Leser sieht, wenn Du entweder die roten oder die blauen Teile zufügst.
> Gibt es
> für diesen Falle einen Mathematischen Begriff
wie wärs mit "monoton wechselnd"? 
Nein, das gibts nicht. Immerhin ist die Folge [mm] a_n-2 [/mm] alternierend, was erstens noch zu zeigen wäre und zweitens nur für positive Startwerte gilt.
> Diese Reihe ist aber konvergent. Durch meinen frei gewählten
> Startwert und die 2 Grenzwerten ist die Reihe in beiden
> Richtungen begrenzt.
Ach ja? Dann probier doch mal die beiden Startwerte [mm] \pm\bruch{1}{1000} [/mm] aus. Oder vielleicht besser gleich [mm] \pm\pi*10^{-27}.
[/mm]
Übrigens hast Du doch oben gerade Werte bestimmt, für die das auch schon nicht zutrifft.
> Stimmen meine Aussagen und sind meine Überlegungung
> erkennbar
Ja, aber es ist weder sprachlich noch mathematisch präzise. Für welche Startwerte geht die Folge denn gegen welchen Grenzwert? Oder, um die Frage mal wieder aufzunehmen, war ein Intervall für mögliche Startwerte vorgegeben?
> Danke
Grüße
reverend
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Ist die Reihe konvergent. Konnte ich bei deinen Erklärungen nicht richtig rauslesen
Ein Intervall gab es nicht
Danke für deine Unterstützung
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Hallo nochmal,
Ja, die Folge Reihe (pardon!) ist konvergent - je nach Startwert gegen einen der beiden schon berechneten Grenzwerte 2 oder [mm] -\bruch{3}{2}.
[/mm]
Nur gezeigt ist das noch nicht, auch nicht, für welchen Startwert eigentlich welcher Grenzwert folgt.
Was kennst Du für Konvergenzkriterien? Passt eins davon?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Deine Frage zu den Konvergenzkriterium für Reihen
Majorantenkriterium
Quotientkriterium
Minurantenkriterium
Wurzelkriterium
Sind die richtig. Ich weis aber noch nicht welche deine Frage vollständig beantwortet.
Bin ich richtig
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
> Deine Frage zu den Konvergenzkriterium für Reihen
>
> Majorantenkriterium
>
> Quotientkriterium
Quotientenkriterium
>
> Minurantenkriterium
Minorantenkriterium
>
> Wurzelkriterium
>
> Sind die richtig. Ich weis aber noch nicht welche deine
> Frage vollständig beantwortet.
>
> Bin ich richtig
Man sollte Konvergenzkriterien für Reihen nicht auf Folgen anwenden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:37 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> Ja, die Reihe ist konvergent - je nach Startwert gegen
Folge!!!
> einen der beiden schon berechneten Grenzwerte 2 oder
> [mm]-\bruch{3}{2}.[/mm]
>
> Nur gezeigt ist das noch nicht, auch nicht, für welchen
> Startwert eigentlich welcher Grenzwert folgt.
>
> Was kennst Du für Konvergenzkriterien? Passt eins davon?
Gruß,
Marcel
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Hallo
Trifftdas Majorantenkriterium für meine Folge zu
Um deine Frage zu Beantworten. Wie ich das jetzt beweisen kann habe ich keine Vorstellung
Kann mir da jemand helfen
Danke
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> Trifft das Majorantenkriterium für meine Folge zu
Hallo,
das Majorantenkriterium ist ein Kriterium für die Konvergenz von Reihen, Du hast hier eine Folge vorliegen, eds hat hier also nichts zu suchen - die Beschäftigung mit dem Kriterium kann aber unabhängig von dieser Aufgabe trotzdem sinnvoll sein.
Gruß v. Angela
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Hallo
Reicht das wie ich die Konvergenz beschrieben habe oder muss ich da noch mehr wissen
Danke
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> Hallo
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> Reicht das wie ich die Konvergenz beschrieben habe oder
> muss ich da noch mehr wissen
Hallo,
ich habe eben nochmal den ganzen Thread überflogen, und ich habe nirgends gesehen, daß Du die Konvergenz irgendwo beschrieben hast - was auch immer Du mit "beschrieben" meinst.
Ich habe weder eine Erklärung oder Definition der Konvergenz von Folgen entdeckt, noch den Nachweis, daß die gegebene Folge konvergiert.
Deine Frage kann ich also mit "nein" beantworten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Reihe fuer a=1 ist eine Intervallschachtelung um 2 herum. du musst also zeigen, dass die Intervalle immer kleiner werden, also die Differenz von 2 folgenglieder , -die jeweils>2 bzw,2 sind -muss gegn 0 gehen.
Beweisschritte:1. [mm] a_n<2 [/mm] folgt [mm] a_{n+1}>2 [/mm] und umgekehrt
2. [mm] |a_n-a_{n-1}|<|a_{n+1}-a_n|
[/mm]
dann hast du eine Intervallschachtelung gezeigt, und dass die Folge gegen 2 konv.
Gruss leduart
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Hallo
Erstmal danke für deine Untestützung.
Ich habe in Mathebücher schon was von Intervallschaachtelung was gelesen. Mehr aber nicht Auch im Vorlesungsscript zu meinen Problem wurde die Intervallschachtelung aufgegriffen und an ein Beispiel dargelege. Geschweige eine Beweisführung.
Kannst du mir das zeigen. Mathe ist nicht meine Leidenschaft, deswegen fehlt mir so mancher Backround
Danke
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> Ich habe in Mathebücher schon was von
> Intervallschaachtelung was gelesen. Mehr aber nicht Auch im
> Vorlesungsscript zu meinen Problem wurde die
> Intervallschachtelung aufgegriffen und an ein Beispiel
> dargelege. Geschweige eine Beweisführung.
>
> Kannst du mir das zeigen. Mathe ist nicht meine
> Leidenschaft, deswegen fehlt mir so mancher Backround
Hallo,
ins Buch zu gucken ist ein guter Ansatz.
Ich denke, daß es nicht nötig ist, hier im Forum eine Abhandlung über die Intervallschachtelung zu schreiben.
Schau Dir das erstmal im Buch (bzw. in Büchern!) gründlich an, schau Dir vor allem Beispiele an. Mit "anschauen" meine ich: mit Stift und Papier.
Falls Du etwas nicht verstehst, schildere Dein Problem und frage nach.
Kurz und knackig steht auch bei  Intervallschachtelung, was das ist. Ein Beispiel gibt's da auch.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Erstmal danke für deine Untestützung.
>
> Ich habe in Mathebücher schon was von
> Intervallschaachtelung was gelesen. Mehr aber nicht Auch im
> Vorlesungsscript zu meinen Problem wurde die
> Intervallschachtelung aufgegriffen und an ein Beispiel
> dargelege. Geschweige eine Beweisführung.
>
> Kannst du mir das zeigen. Mathe ist nicht meine
> Leidenschaft, deswegen fehlt mir so mancher Backround
siehe den ersten Teil des Beweises zu Satz 8.5 aus diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 18:47 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> Deine Reihe fuer a=1 ist eine Intervallschachtelung um 2
> herum. du musst also zeigen, dass die Intervalle immer
entschuldigt, aber ich finde es echt ein wenig schlimm. Bitte, bitte, übernehmt nicht Christopfs falsche Sprechweise von einer Reihe hier. Auch, wenn sich jede Folge als Reihe darstellen läßt. Oben geht es um eine Folge, und gerade die Erstsemester sollte man penibel darauf aufmerksam machen, die Begriffe richtig zu benutzen. Ich habe es nun dreimal hier korrigierend erwähnt, und damit ist's eigentlich noch längst nicht getan (nur habe ich keine Lust, nun den ganzen Thread nochmal zu durchforsten). Hier wird durchgehend der Begriff einer Reihe für eine Folge benutzt, das sollte nicht passieren!
Und dass es dadurch auch zu 'Missverständnissen' kommen kann, sieht man oben, wo Christopf wirklich Konvergenzkriterien für Reihen aufgezählt hat (z.B. Wurzelkriterium, Quotientenkriterium etc.).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christopf,
Du sprichst hier mehrfach von dem Begriff einer Reihe:
> Ist die Reihe konvergent.
Oben geht es nicht um eine Reihe, sondern um eine Folge. Mach' Dir generell mal die einzelnen Begriffe klar, und lerne, sie nicht durcheinanderzuwerfen. Ansonsten wirst Du später viel falsch machen, weil Du nicht in der Lage bist, die mathematische Sprache korrekt zu benutzen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen sie in Abhängigkeit von dem Parameter a die
> durch [mm]a_{1}=a[/mm] und
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{3}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}})[/mm] gegebene
> Folge auf Monotonie und Konvergenz.
>
> Kann mir da jemand ein Tip geben wie man da vorgeht
Hallo,
eine sehr naheliegende Vorgehensweise wurde bisher komplett außer Acht gelassen:
Die Vermutung auf Monotonie überprüft man normalerweise dadurch, dass man den Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] bildet.
Hier gilt [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{1}{3}(1+\bruch{1}{a_{n}}+\bruch{6}{a_{n}^2}).
[/mm]
Gruß Abakus
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Wenn ich dann deine Vorgehensweise mache was bringt das ergebnis
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> Wenn ich dann deine Vorgehensweise mache was bringt das
> ergebnis
>
Hallo,
wenn der Quotient immer [mm] \ge [/mm] 1 ist, ist die Folge monoton wachsend, wenn er [mm] immer\le [/mm] 1 ist, monoton fallend. (Warum?)
Wenn der Quotient mal so und mal so ist, ist, die Folge nicht monoton.
Ich bin mir nicht sicher, ob einem dies hier zügig weiterhilft. Fälle, in denen die Folge nicht monoton ist, hast du ja schon gesehen, wenn nich mich recht entsinne.
Gruß v. Angela
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Habe ich bei meiner Folge nicht schon bewiesen das die Monoton wechselnd ist oder ändert das mein Ergbnis nochmal.
Und dann noch die frage habe ich mit meiner Aussage beiesen das die Folge konvergent ist oder muss da nochwas erklärt werden.
Wie schon geschrieben: Wenn die Intervallschachtelungen dort ein Beweismittel ist oder oder ein wichtiges Handwerkzeug um diese Thematik zu bearbeiten der Lehrer nicht mit erwähnt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das einzige, was ich gesehen habe, ist dass du fuer a=1 die ersten paar Glieder als alternierend auf 2 zugehend gezeigt hast.
Wo ist irgendwo ein Beweis?
Oder hab ich einen deiner posts uebersehen.?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:19 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
kann mir einer zeigen wie man das beweist, so das die aufgabe gelöst wird. Ich bin Informatikstudent und habe Mathe als Nebenfach. Alle Schritte die ich aufgeschrieben habe sind Beispiele oder Math. Sätze ode Definitio0nen , die in meinen Unterlagen zu diesem Thema zu vorhanden sind. Ich bin gerne bereit das z6u lernen. Ich kann aber nicht die komplette Mathematik lernen mit ihren Vorschriften und Möglichkeiten, weil ich halt keine mathestudent bin.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir Jemand zeigt wie man dieses Problem Mathemathisch korekt und vollständig löst
Vielen dan
Stehe jeder Zeitf ür Rückfragen zur verfügung, weil das verstehen möchte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
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> kann mir einer zeigen wie man das beweist, so das die
> aufgabe gelöst wird. Ich bin Informatikstudent und habe
> Mathe als Nebenfach. Alle Schritte die ich aufgeschrieben
> habe sind Beispiele oder Math. Sätze ode Definitio0nen ,
> die in meinen Unterlagen zu diesem Thema zu vorhanden sind.
> Ich bin gerne bereit das z6u lernen. Ich kann aber nicht
> die komplette Mathematik lernen mit ihren Vorschriften und
> Möglichkeiten, weil ich halt keine mathestudent bin.
entschuldige bitte meine vll. forsche Reaktion darauf, aber ich bin Mathestudent mit Nebenfach Informatik, und nichtsdestotrotz musste ich mich in die Grundlagen der Informatik einarbeiten.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir Jemand zeigt wie man
> dieses Problem Mathemathisch korekt und vollständig löst
Ich sehe keinen Sinn darin, Dir hier einfach die Lösung vorzukauen. Du hast bisher, soweit ich mich entsinne, weder selber den Hauptsatz über monotone Folgen, die Definition der Konvergenz einer Folge, Rechenregeln für konvergente Folgen noch überhaupt die Definition einer Folge hier selbstständig erwähnt (Angela hat Dir aber den Wink mit dem Zaunpfahl gegeben, dass Du Dich dringends damit beschäftigen solltest). Anhand Deiner Fragen bin ich mir manchmal noch nicht mal sicher, ob Du überhaupt weißt, was eine Folge ist, geschweige denn, dass Du überhaupt den Begriff der Monotonie einer Folge wirklich verstehst bzw. damit umgehen kannst. Ohne ein Mindestmaß an Grundlagenwissen wirst Du nicht weiterkommen. Ich habe Dir oben ein Skript verlinkt, wo Du auch dieses Grundlagenwissen selbstständig erarbeiten kannst, meinetwegen auch nochmal hier:
Skript zur Analysis
Du solltest vor allem Kapitel 5 durcharbeiten. (Mindestens bis Satz 5.12!)
Ein Studium sollte auch dazu dienen, dass Du lernst, selbstständig zu arbeiten, auch in Dingen, die Dich vll. nicht so sehr interessieren. Das gehört einfach dazu. Und in Prüfungen wirst Du Dich mit solchen Aussagen nicht rausreden können, sondern dann wirst Du sicher konfrontiert mit Aussagen wie: "Nun gut, vll. sollten Sie mal über einen Wechsel des Studienganges nachdenken!"
Ich will nicht sagen, dass Du untauglich für Dein Studienfach bist, aber ich denke, Du musst dringend an Deiner Einstellung arbeiten bzw. Dich auch mal selbst hinsetzen und versuchen, die Sachen zu bearbeiten bzw. nachzuarbeiten. Dann wird es vll. die ein oder andere konkrete Stelle geben, wo Du vll. etwas gar nicht nachvollziehen kannst (einen Beweisschritt oder ...), und dann ist es sinnvoll, diese Frage dann konkret an jemanden zu richten, der sich damit auskennt bzw. hier im Forum zu posten.
Es macht nämlich hier keinen Sinn, Dir Dinge zu erklären, wo Dir die Grundlagen fehlen, auf denen aber die ganze Argumentation aufbaut.
Genausowenig würde es Sinn machen, mit jemanden darüber zu diskutieren, ob ein Algorithmus terminiert, wenn der Diskussionpartner weder weiß, was ein Algorithmus ist, noch was terminieren bedeutet. Ohne eine gemeinsame Basis, ein 'Grundlagenwissen', macht diese ganze Diskussion hier wenig Sinn. Und das mathematische Grundlagenwissen, welches Du hier benötigst, sollte eigentlich niemanden überfordern. Du musst Dir aber auch einfach mal die Zeit dazu nehmen, um Dich mit theoretischen Grundlagen auseinanderzusetzen!
Gruß,
Marcel
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Hallo Christopf,
ich stimme Marcel zu. Dir fehlen wesentliche mathematische Grundlagen, und nicht etwa die "ganze Mathematik". Niemand verlangt, dass Du die lernen sollst.
Du formst Gleichungen fehlerhaft um, Du hast noch keine einzige Definition aufgeschrieben, so dass ich nicht einmal sagen kann, ob Du weißt, was das ist.
Du hast noch nicht von dem, was man in dieser Aufgabe nachweisen soll, nachgewiesen, geschweige denn einen Beweis auch nur im Ansatz geführt.
Das sind wesentliche Dinge, die man auch in der Informatik unterscheiden und anwenden können muss, wie an Marcels Beispiel der Frage nach dem Terminieren eines Algorithmus deutlich wird. Wie willst Du eine theoretisch formulierte Turingmaschine analysieren, wenn Du nicht weißt, was ein Beweis ist?
Es sind an den Unis und den meisten FHs ja gerade Semesterferien. An vielen Orten werden da Mathe-Vorkurse angeboten, z.T. sogar speziell für Informatiker.
Ich würde Dir dringend empfehlen, einen solchen Vorkurs schnellstmöglich zu machen, am besten sofort.
Übrigens ist auch Deine Sprache nicht sehr genau, was aber in beiden Fächern nötig ist. Egal, ob Du Muttersprachler bist oder Deutsch als Fremdsprache gelernt hast, musst Du daran arbeiten. Sonst hast Du in einem Studium hier keine Chance.
Übrigens habe ich tatsächlich überlegt, die Aufgabe einmal vorzurechnen, denke aber auch, dass Dir das nichts bringt. Ein Skript mit Übungsaufgaben wirst Du ja haben. Studiere die erst einmal, bevor Du Dich mit einer solchen Aufgabe wie der vorliegenden überforderst. Kleine Schritte bringen Dich weiter als die Bearbeitung eines Themas, von dem Du noch gar keine Ahnung hast, und genau danach sieht es hier aus.
Tut mir leid, wenn das vielleicht noch härter klingt als Marcels Antwort, aber ich denke wirklich, dass es eine gute Empfehlung ist, und sicher nicht böse oder abwertend gemeint. Du willst es ja lernen, aber dies hier ist der falsche Weg. Er kostet alle Beteiligten Zeit und Nerven, und bringt Dich nicht weiter.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 00:48 So 01.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Kannst du das bitte mal vorrechnen. Das ist mir sehr wichtig. Das ich erkenne was ihr vonn mir wollt. Wie schon gesagt ich habe Beilspiele, die der Lehrer zu diesn Thema angebracht hat und die Sätze und Definitio0n und trotzdem reicht das nicht. Desweegn ist mir wichtig die lösungmal zu sehen
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> Kannst du das bitte mal vorrechnen. Das ist mir sehr
> wichtig. Das ich erkenne was ihr vonn mir wollt. Wie schon
> gesagt ich habe Beilspiele, die der Lehrer zu diesn Thema
> angebracht hat und die Sätze und Definitio0n und trotzdem
> reicht das nicht. Desweegn ist mir wichtig die lösungmal zu
> sehen
Hallo,
ich nehme kein Blatt vor den Mund: Dir diese nicht ganz unaufwendige Aufgabe hier vorzurechnen ist absolut sinnlos, weil Du null Ahnung davon hast, worum es geht.
Jeglichen meiner Versuche in dieser Diskussion, Dich zum Nachschlagen der Definitionen und Grundlagen anzuregen, empfinde ich als gescheitert.
Ich habe als erste Antwort auf Deine Frage eine Liste von Fragen gepostet.
Dies habe ich nicht getan, weil ich Dich als Informationsquelle anzapfen wollte.
Ich habe es getan, weil die Beantwortung und die Kenntnis der Sachverhalte für die Lösung der Aufgabe unabdingbar ist.
Die Art, wie Du die Aufgabe experimentell bearbeitet hast, läßt gewisse Zweifel aufkommen, daß Du überhaupt weißt, was eine Folge ist.
Deshalb bist Du kein schlechter Mensch. Ich kenne viele Leute, die nicht wissen, was eine Folge ist - und die es nicht vermissen.
Nun kommen wir aber zu einem wesentlichen Punkt. Du unterscheidest Dich nämlich von diesen Leuten:
Du studierst Informatik, und völlig egal, ob Du dies für angebracht hältst oder nicht: Du wirst Dich einer Überprüfung in Mathematik unterziehen müssen. Durchs Auswendiglernen einiger vorgerechneter Aufgaben wirst Du die nicht bestehen.
Du mußt an die Basics. Du brauchst, um haarscharf am "nicht bestanden" vorbeizuschrappen, nicht jeden Beweis in Deinem Skript zu verstehen, aber es ist unbedingt notwendig, daß Du die Definitionen kennst und die Aussagen der wesentlichen Sätze. (Diese wären auch notwendig fürs Verstehen der vorgerechneten Aufgabe.)
Sonst kannst Du einpacken, denn deren Kenntnis ist Voraussetzung dafür, daß Du die gestellten Aufgaben lösen kannst.
Du mußt viel nacharbeiten. Das Forum kann Dir sicher an einigen Stellen behilflich sein, aber es kann weder die Vorlesung, die Beschäftigung mit den Übungsaufgaben noch das sonstige häusliche Studium ersetzen.
Neben Deinem Vorlesungsskript und den einschlägigen Lehrbuchern könnte Dir noch ein Buch wie z.B. das Repetitorium von Merziger/Wirth gute Dienste leisten oder "Das gelbe Rechenbuch". (Die Nennung dieser Bücher ist eher zufällig, ich habe sie bei meinem Sohn gesehen.)
Du mindestens folgendes lernen, bevor Du überhaupt nur einen Gedanken daran verschwenden brauchst, Dich mit der vorliegenden Aufgabe zu beschäftigen:
was ist eine Folge
was ist eine beschränkte Folge, obere/untere Schranke
was ist Monotonie
was ist ein Grenzwert, was ist Konvergenz
was haben Beschränktheit und Monotonie miteinander zu tun.
Wenn Du so weit bist - eigentlcih könnte ich jetzt eine return-Button einbauen - ist die vorliegende Folge erstmal ein bißchen experimentierend zu untersuchen.
Für a>0 gibt es nämlich einen bereich, in welchem si monoton ist, und einen, in welchem diese nicht der Fall ist. Diese Bereiche sind gesondert zu untersuchen, schon damit man sich nicht selbst verrückt macht.
Experimentell kannst Du feststellen, daß die Folge für a>0 gegen 2 konvergiert. Ein Beweis ist das nicht, aber es ist hilfreich, damit man erfährt, was man beweisen möchte.
Den Wert 2 kannst Du ja rechnerisch bestätigen, indem Du die Rechnung durchführst, die Dir mitteilt, welche Zahlen als Grenzwerte überaupt nur infrage kommen, sofern es welche gibt. Ist ja im Thread schon geschehen, wenn ich mich recht entsinne.
A. Weiter stellst Du bei Deinen Experimenten fest, daß die Folge für a < 2 monoton ist, und ich empfehle Dir, wenn Du diese Aufgabe dann irgendwann, nachdem Du Dir die Grundlagen angeeignet hast, bearbeitest, zunächst diesen Fall zu untersuchen. Du kannst es auch erstmal für ein konkretes a tun, z.B. für a= 1.
Zeige, daß [mm] a_n [/mm] immer größer als 0 ist.
Zeige, daß [mm] a_n [/mm] immer kleiner als 2 ist.
Zeige, daß die Folge monoton wächst (s.abakus Hinweis)
Schließe hieraus die Konvergenz.
begründe, warum 2 der Grenzwert ist.
B. Für a>2 ist die Lage ernster. Die Folge ist nicht monoton.Du kannst feststellen, daß ab irgendeinem Folgenglied sich Werte über und unter 2 abwechseln.
Du kannst zeigen, daß die Folge sich mit einer Teilfolge monoton von unten und mit einer anderen monoton von oben dem potentiellen Grenzwert nähert. Hier würde jetzt die Intervallschachtelung zum Zuge kommen - ich will das jetzt nicht weiter ausführen.
Gruß v. Angela
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Hallo
Mit dein Forschlag die Monotonie zu untersuchen. Muss ich da wirklich [mm] a_{n+1}/ a_{n} [/mm] rechnen weil das ja die Bezeichnungen der Glieder ias. Z.B a1,a2,...
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> Hallo
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> Mit dein Forschlag die Monotonie zu untersuchen. Muss ich
> da wirklich [mm]a_{n+1}/ a_{n}[/mm] rechnen
Hallo,
ja.
Wie ist die Monotonie einer Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] definiert?
Gruß v. Angela
weil das ja die
> Bezeichnungen der Glieder ias. Z.B a1,a2,...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 So 01.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Die Monotonie ist so erklärt das [mm] a_{n}
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> Hallo
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> Die Monotonie ist so erklärt das [mm]a_{n}
Hallo,
mich dünkt, Du möchtest über "monoton wachsend" sprechen.
das, was Du oben schreibst, ist ja nur ein kleiner - wenn auch wichtiger - Ausschnitt der Definition.
Das muß gelten für alle [mm] n\in \IN, [/mm] und diese Kleinigkeit ist enorm wichtig.
Gruß v. Angela
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hallo
Was abakus dort geschrieben hat. Bevor ich aber das mit Zahlen teste möchte ich verstehe warum in der Gleichung auch die linke Seite der Quotient gebildet wird. Weil das ja eigentlich die Bezeichnungen der Glieder ist Wie schon geschrieben( [mm] a_{1}, a_{2},... [/mm]
Dann habe ich noch nicht gesagt das ich von Monoton fallend rede. Um die Monotonie einer Folge zu bestimmen habe ich im Internet, Scripte oder Bücher immer nur gesehen: Wähle ein Startwert setze das in die Gleichung ein und führe das so lange durch bis ich anhand der Glieder dieser Folge sehen kann wie die Folge verläuft. Wie schon weiter oben in ein Thread geschrtieben verläuft die bei dem Startwert a=1 monoton fallend und monton steigen im Wechsel.
Wenn ich die Argumentation von angela und reserved richtig verstanden habe die mich gut unterstütz haben wollten sie die die vollständige Induktion als Beweismittel haben. Dann könnte ich meine Aussage für alle n dieser Folge beweisen. "Einmal für positiven und einmal für negativen n". Wenn ich da jetzt richtig liege.
Aus neugier möchte möchte ich aber noch abakus sein Vorschlag anwenden. Da ist aber immer noch meine Frage offen. Siehe oben
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Hallo,
> Was abakus dort geschrieben hat.
war der Hinweis, daß man für die Monotonie den Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] anschauen kann und gucken, ob er immer (also für alle n) [mm] \ge [/mm] 1 oder [mm] \le [/mm] 1 ist.
> warum in der Gleichung
> auch die linke Seite der Quotient gebildet wird.
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
abakus hat [mm] a_{n+1} [/mm] durch [mm] a_n [/mm] geteilt. Das n-te Folgenglied durch das (n+1) -te.
> Weil das
> ja eigentlich die Bezeichnungen der Glieder ist Wie schon
> geschrieben( [mm]a_{1}, a_{2},...[/mm]
Ja. [mm] a_n [/mm] ist das n-te Folgenglied der Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo
ich habe jetzt die Monotonie der Folge nach abbakus sein Beispiel untersucht mit den startwert:
[mm] a_{1}=5
[mm] a_{2}=2,4>a_{3}
[/mm]
[mm] a_{3}=1,966
[mm] a_{4}=2,005
[/mm]
[mm] a_{5}=2,007
[/mm]
[mm] a_{6}=1,998
[/mm]
Das bestätigt wieder mein Aussagen aus Anderen Thread`s
Diese Folge ist monoton wechselnd. Die Glieder der Folge nähren sich immer nur dem Grenzwert in diesenb Fall 2 an.
Erreichen nie die obere schrange von genau 2,0
ich weis das sind alles Behauptunegn und keine Bewise
Ist das soweit korekt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 So 01.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
Bei den einzelnen Gliedern hast Du Dich m.E. teilweise verrechnet.
Betrachte anschließend mal die geraden und ungeraden Glieder separat.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 So 01.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Was bedeutet m.E
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 So 01.03.2009 | | Autor: | Marcel |
> Was bedeutet m.E
meines Erachtens
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 So 01.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Gleichung [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3}((a_{n}+1+\bruch{6}{a_{n}}))
[/mm]
Rechnung:
[mm] a_{1}=5
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{3}(5+1+\bruch{6}{5})=\bruch{12}{5}=2,4
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{1}{3}(\bruch{12}{5}+1+\bruch{6}{\bruch{12}{5}})=\bruch{59}{30}=1,9666
[/mm]
[mm] a_{4}=2,005
[/mm]
[mm] a_{5}=1,999
[/mm]
[mm] a_{6}=2,00016
[/mm]
Auch wenn ich die geraden Glieder und dann die ungeraden Glieder betrachte ist diese Reihe monoton wechselnd. Ich verstehe den Sinn von diesem Tip nicht. Ändert nichts am Ergebnis.
Danke
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Diese Folge konvergiert weil das eine Chauchy Folge ist
Das erkennt man daran weil der Abstand zwischen 2 Folgeglieder < [mm] \varepsilon [/mm] ist. Und [mm] \varepsilon [/mm] ist 2(Grenzwert)
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> ich habe jetzt die Monotonie der Folge nach abbakus sein
> Beispiel untersucht mit den startwert:
> [mm]a_{1}=5
Hallo,
hm. Ein bißchen frage ich mich nun wirklich, wofür ich mir überhaupt die Mühe mache, Antworten zu schreiben.
Liest Du sie überhaupt nicht?
Ich habe hier einen langen Aufsatz für Dich (ja, allein für Dich!!!) geschrieben,
in welchem ich Dir gesagt habe, wie Du die genannte Folge untersuchen sollst, wenn Du Dir die notwendigen Grundlagen angeeignet hast,
nämlich für a zwischen 0 und 2.
Du tust hier nun genau das Gegenteil. Warum eigentlich? Glaubst Du mir nicht? Das wäre die einzige Begründung, der ich folgen könnte.
Gruß v. Angela
> [mm]a_{2}=2,4>a_{3}[/mm]
> [mm]a_{3}=1,966
> [mm]a_{4}=2,005[/mm]
> [mm]a_{5}=2,007[/mm]
> [mm]a_{6}=1,998[/mm]
>
> Das bestätigt wieder mein Aussagen aus Anderen Thread's
> Diese Folge ist monoton wechselnd. Die Glieder der Folge
> nähren sich immer nur dem Grenzwert in diesenb Fall 2 an.
> Erreichen nie die obere schrange von genau 2,0
> ich weis das sind alles Behauptunegn und keine Bewise
>
> Ist das soweit korekt
>
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Hallo
Wie kann ich ich an meine gegeben Folge zeigen das diese Eich Chauchy Folge ist, Wie bekomme ich das [mm] \varepsilon [/mm]
Mir ist bekannt [mm] |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon [/mm] gelten muss.
Was ist dabei [mm] a_{m}
[/mm]
Danke
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Hallo
Habe ich das richtig verstanden. Man nehme eine Folge und bestimmt die jeweiligen. Solte der Abstand zwischen den Glied [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n+1}< [/mm] den Grenzwert sein, ist es eine Chauchy Folge und damit konvergent. Der Differenzbetrag ist [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich glaube nicht das das ganz stimmt.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit dem [mm] \epsilon [/mm] hast du ganz falsch verstanden.
Man muss zeigen, dass zu jedem beliebigen [mm] \epsilon>0 [/mm] man ein n angeben kann, so dass fuer alle [mm] n,m>N(\epsilon) [/mm] gilt
[mm] |a_n-a_m|,\epsilon.
[/mm]
d.h. wenn ich dir sage ich geb [mm] \epsilon=10^{-10} [/mm] musst du mir ein N sagen, ab dem die Ungleichung gilt. ich haette aber auch [mm] \epsilon=10^{-171} [/mm] geben koennen und du musst ein entsprechendes N angeben usw.
Das ist bei dieser folge nicht moeglich.
Musst du das wirklich an dieser Folge ueben?
die ist wirklich relativ schwierig, weil sie je nach Anfangswert sich verschieden verhaelt.
Anfangswert 3 etwa ist was besonderes, ebenso [mm] a_0=3
[/mm]
dann [mm] a_0 [/mm] sehr gross, [mm] a_0 [/mm] sehr klein aber >0, [mm] a_0 [/mm] negativ wieder gross oder klein.
Bei [mm] a_0=1 [/mm] alterniert die Folge, bei anderen Anfangswerten alterniert sie nicht von Anfang an usw.
Cauchyfolge zu beweisen geht fuer rekursiv definierte Folgen fast nie.
Deshalb braucht man ein anderes Kriterium:
Wenn eine Folge nach oben beschraenkt ist und monoton steigend dann konvergiert sie. wenn sie ne untere Schranke hat und monoton faellt konvergiert sie. wenn sie ne obere und untere Schranke hat und die differenz gegen 0 geht konvergiert sie.
bei [mm] a_0=1 [/mm] hast du ne alternierende Folge. deren Konvergenz zu beweisen ist schwieriger.
Wenn ihr keine Intervallschachtelung gemacht habt sehr schwierig.
ich schlag dir deshalb vor, die grundfertigkeiten an ner einfacheren rekursiv gegebenen Folge zu ueben.
Beispiel [mm] a_{n+1}=2/a_n
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo leduart
Bei dein Beispiel [mm] a_{n+1}=\bruch{2}{a_{n}}
[/mm]
Startwert [mm] a_{1}=5 [/mm] Damit ergeben sich die Folgeglieder
[mm] a_{2}=\bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] a_{3}= [/mm] 5
[mm] a_{4}=\bruch{2}{5}
[/mm]
Diese Folge ist auch monoton wechseln. Der [mm] Grenzwert\limes_{n\rightarrow\infty}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{2}{a_{n}}\Rightarrow a=\bruch{2}{a}\Rightarrow a^{2}=2\Rightarrow a=\wurzel{2}
[/mm]
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> Hallo leduart
>
> Bei dein Beispiel [mm]a_{n+1}=\bruch{2}{a_{n}}[/mm]
>
> Startwert [mm]a_{1}=5[/mm] Damit ergeben sich die Folgeglieder
>
> [mm]a_{2}=\bruch{2}{5}[/mm]
> [mm]a_{3}=[/mm] 5
> [mm]a_{4}=\bruch{2}{5}[/mm]
>
> Diese Folge ist auch monoton wechseln.
Hallo,
hast ein paar mehr Folgenglieder ausgerechnet?
Diese Folge ist sogar ziemlich monoton - im Sinne von öde.
Die springt nämlich unaufhörlich zwischen zwei Werten hin und her, um dies mal deutlich herauszuarbeiten.
Es ist
[mm] a_n=\begin{cases} \bruch{2}{5}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 5, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases},
[/mm]
und es kann hier keinen Grenzwert geben.
> Der
> [mm]Grenzwert\limes_{n\rightarrow\infty}=\wurzel{2}[/mm]
Wenn Du nur in Ansätzen und auch nur rein gefühlsmäßig ein ganz klein bißchen wüßtest, was ein Grenzwert ist, würde man hier nicht solchem Quatsch lesen müssen.
Daß das Ding keinen Grenzwert hat, sieht meine 5-jährige Nichte!
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{2}{a_{n}}\Rightarrow a=\bruch{2}{a}\Rightarrow a^{2}=2\Rightarrow a=\wurzel{2}[/mm]
Es ist in diesem langen und gleichermaßen höchst unerfreulichem Thread mehrfach folgendes erwähnt worden: mit der Rechnung, die Du hier durchgeführt hast zwecks Grenzwertbestimmung, kann man herausfinden, wo etwaige Grenzwerte liegen, sofern es welche gibt. (Im übrigen hätte man zwei Ergebnisse.)
Da die Folge aber nicht konvergent ist, hat sie keinen Grenzwert, egal, was die Berechnung der etwaigen Grenzwerte liefert.
---
Insofern war diese langweilige Folge also wider Erwarten doch recht ergiebig.
Ich glaube, daß leduart Dir zur Untersuchung eher die Folge mit [mm] x_n:=\bruch{1}{2}(x_n+\bruch{2}{x_n}) [/mm] empfehlen wollte.
Falls Du das wirklich tun willst, mach eine neue Diskussion hierfür auf.
Die genannte Folge findest Du übrigens auch in Büchern vorgerechnet.
Zuvor allerdings - nein. Ich spare mir langweilige Wiederholungen jetzt.
Gruß v. Angela
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Hallo
Gegeben war die Folge [mm] a_{n+1}=\bruch{3}{4}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_n}
[/mm]
Nach langen überlegen habe ich die 2 Grenzwerte 2 und [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] ermittelt
Dann habe ich mehrere Glieder ermittelt habe gesehen das ab einer bestimmten anzahl sich der Wert nicht mehr verändert. Der Wert ist 2 und bleibt 2 [mm] \Rightarrow [/mm] die 2 ist die ober Schranke damit ist die Folge nach oben beschrängt. Bei den Startwert [mm] a_{1}=1 [/mm] ist die Folge monoton steigend.
Der Grenzwert dieser Folge ist damit [mm] -\bruch{3}{2}, [/mm] weil sich die Glieder bei ein Startwert - 1 diesen nur annähren aber nie erreicht. Damit ist die Folge monoton und konvergent
Ist das so richtig erklärt. Und die verwendeten Begriffe auch richtig.
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 02.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hat sich erledigt.
Auch 'ne gute Idee, die Frage einfach anzuhängen.
Grüße (v.a. an Loddar  )
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Christopf
> Hallo
>
> Gegeben war die Folge
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3}{4}(a_{n}+1+\bruch{6}{a_n}[/mm]
>
> Nach langen überlegen habe ich die 2 Grenzwerte 2 und
> [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] ermittelt
Wie hast du das gemacht. sowas geht nicht mit Ueberlegen, das muss man zeigen.
> Dann habe ich mehrere Glieder ermittelt habe gesehen das ab
> einer bestimmten anzahl sich der Wert nicht mehr verändert.
Das ist falsch! er aendert sich noch, nur nicht mehr innerhalb der Stellen des TR.
Das ist aber kein Beweis, es koennte ja sein, dass er ab 1.99999999999999999992 sich wieder anders verhaelt, wenn nicht ab da vielleicht wenn [mm] a_n=1,...100 [/mm] mal die 9 ? woher weisst du, dass es sich nicht mehr aendert.
Gerade Informatiker muessen lernen, dass etwas nur konvergiert, wenn man das zeigen kann, sonst wenden sie spaeter Allgorithmen an, die ins Cahos fuehren koennen.
> Der Wert ist 2 und bleibt 2 [mm]\Rightarrow[/mm] die 2 ist die ober
> Schranke damit ist die Folge nach oben beschrängt.
Die Folge mit dem Startwert [mm] a_0=1 [/mm] ist nicht nach oben beschraenkt. schon [mm] a_1=8/3>2
[/mm]
> Bei den
> Startwert [mm]a_{1}=1[/mm] ist die Folge monoton steigend.
Nein, ist sie nicht.
In anderen posts hast du genau gezeigt, dass das nicht stimmt.
> Der Grenzwert dieser Folge ist damit [mm]-\bruch{3}{2},[/mm] weil
> sich die Glieder bei ein Startwert - 1 diesen nur annähren
> aber nie erreicht. Damit ist die Folge monoton und
> konvergent
Also du hast ne Menge falscher Beh. aufgestellt.
Du hast auch die richtigen Tatsachen nicht gezeigt.
fuer [mm] a_0=1 [/mm] ist es richtig, dass die Folge konvergiert, das hast du aber nirgends gezeigt, ausser durch untaugliches Rechnen bis zur Stellenzahl des Rechners, den du benutzt.
auf die Forderung, die Folge fuer verschiedene Startwerte anzusehen bist du nicht eingegangen.
Weil du nun wenigstens schon ne Menge Schreibzeit mit der Aufgabe zugebracht hast, geb ich dir noch nen Tip
Man kann die Formel umschreiben zu:
[mm] a_{n+1}=2+1/3*(a_n-5+6/a_n)=2+1/3*\bruch{(a_n-2)(a_n-3)}{a_n}
[/mm]
jetzt kannst du untersuchen: wenn [mm] 0
ausserdem kannst du untersuchen wie sich [mm] |a_n-2| [/mm] von [mm] |a_{n+1}-2| [/mm] unterscheidet.
Nochmal zusammengefasst: numerische Experimente helfen, einen Eindruck zu bekommen, was vielleicht richtig ist. deshalb sollte man fuer verschieden anfangswerte ruhig die ersten paar Werte ausrechnen.
Wenn man dann eine Vermutung hat, kann man mit Zahlenrechnen nichts weiter erreichen. man muss jetzt beweisen.
(Es gibt den boesen Witz ueber Informatiker (oder Ingenieure)
Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
Beweis: 3,5,7 stimmt, noch ne Stichprobe, 11,13 stimmt auch.
Beweis fertig. alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.)
Gruss leduart
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