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Kann man folgende Aufgabe so lösen:
Welche positiven ganzen Zahlen sind gleich der Summe der Quadrate ihrer vier kleinsten Teiler?
Also: (1) n=p1*p2*....*pk mit pi=>p(i-1) i=1,2,....,k pi ist Primzahl
(2) n= 1² + p1² + p2² + (p1*p2)²
Wenn nun n nicht durch 2 teilbar ist, dann wäre n nach (2), da dann p1,p2 nicht gleich 2 ist, als Summe von vier ungeraden Zahlen wieder gerade, was im Widerspruch zur Annahme steht, also ist n durch 2 teilbar.
Also ist p1=2 wegen p1<p2.
Also n=1²+2²+p2²+(2p2)²=5+5*p2²=5(p2²+1)
Also ist n auch durch 5 teilbar, was heißt p2<=5, was da p2 Primzahl ist nur für p2=3, p2=5.
p2=3 ergibt n=1²+2²+3²+(2*3)²=50=1*2*5*5 Also ist dies keine Lösung.
p2=5 ergibt n=130=1*2*5*13. ist also Lösung.
Falls p1 = p2, dann ist n=1²+p1²+(p1*p2)²+(p1*p3)²
Auch hier ist n gerade (Begründung wie oben)
Also p1=p2=2
n=1+4+16+4p3²=21+4p3², wird also immer ungerade im widerspruch zu oben.
Also ist die einzige Lösung n=130.
Gruß, David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 29.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Kann man folgende Aufgabe so lösen:
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> Welche positiven ganzen Zahlen sind gleich der Summe der
> Quadrate ihrer vier kleinsten Teiler?
> Also: (1) n=p1*p2*....*pk mit pi=>p(i-1)
> i=1,2,....,k pi ist Primzahl
> (2) n= 1² + p1² + p2² + (p1*p2)²
>
> Wenn nun n nicht durch 2 teilbar ist, dann wäre n nach
> (2), da dann p1,p2 nicht gleich 2 ist, als Summe von vier
> ungeraden Zahlen wieder gerade, was im Widerspruch zur
> Annahme steht, also ist n durch 2 teilbar.
>
> Also ist p1=2 wegen p1<p2.
> Also n=1²+2²+p2²+(2p2)²=5+5*p2²=5(p2²+1)
> Also ist n auch durch 5 teilbar, was heißt p2<=5, was da
> p2 Primzahl ist nur für p2=3, p2=5.
Warum nicht [mm] p_2=13 [/mm] oder [mm] p_2=23 [/mm] ...?
> p2=3 ergibt n=1²+2²+3²+(2*3)²=50=1*2*5*5 Also ist
> dies keine Lösung.
> p2=5 ergibt n=130=1*2*5*13. ist also Lösung.
>
> Falls p1 = p2, dann ist n=1²+p1²+(p1*p2)²+(p1*p3)²
> Auch hier ist n gerade (Begründung wie oben)
> Also p1=p2=2
>
> n=1+4+16+4p3²=21+4p3², wird also immer ungerade im
> widerspruch zu oben.
> Also ist die einzige Lösung n=130.
>
> Gruß, David
Hallo,
habe keine Lust zum Nachrechnen. Folgende Fälle musst du betrachten:
Fall 1: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1, p, [mm] p^2, p^3.
[/mm]
Fall 2: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1 und [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_1^2 [/mm] und [mm] p_2
[/mm]
Fall 3: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1 und [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_1*p_2
[/mm]
Fall 4: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1, [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3
[/mm]
Die Zahlen können natürlich noch viele weitere Primfaktoren haben.
Gruß Abakus
PS: Habe deine Antwort doch mal genauer durchgelesen. Ich gebe dir recht, dass eine Primzahl (und das ist die kleinste Primzahl [mm] p_1) [/mm] gleich 2 sein muss.
Damit kann Fall 1 und Fall 4 ausgeschlossen werden (Quadratsumme wird ungerade).
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