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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | laravi |
| Aufgabe | berechnen sie das folgende integral:
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} \, [/mm] dx [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \, [/mm] dy [mm] \int_{-\pi}^{\pi/2} \, [/mm] dz [mm] \cos(xyz-z)(\delta(y)+ \delta(z))e^{-(x^2+y^2+ \sin(z))} [/mm] |
hi, ich muss wieder mal um hilfe bitten..
ich komm einfach bei diesem integral nicht weiter bzw genauer gesagt ich weiß nicht wie ich wirklich anfangen soll... kann mir jemand einen tip geben wie ich am besten anfang und vorallem wie ich das mit dem [mm] \delta(y) [/mm] bzw [mm] \delta(z) [/mm] integrieren kann?
schon mal vielen dank für die hilfe, lavari
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 03.07.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, laravi!
Wie war das...?
[mm]
\integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2} \cos(xyz-z)
(\delta(y)+\delta(z)) e^{-(x^2+y^2+\sin(z))} dz dy dx
[/mm]
Ich würde erst einmal die Klammer ausmultiplizieren und das Integral in seiner Eigenschaft als lineare Abbildung auseinanderziehen:
[mm]
\integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2} \cos(xyz-z) e^{-(x^2+y^2+\sin(z))} \delta(y) dz dy dx
+ \integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2} \cos(xyz-z) e^{-(x^2+y^2+\sin(z))} \delta(z) dz dy dx
[/mm]
Außerdem würde ich (die Grenzen Deiner Integration sind lauter Konstanten) den Satz von Fubini anwenden und das linke Integral so umschreiben, dass zuerst nach y integriert wird.
[mm]
\integral_{x\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2}\integral_{y\in\IR} \cos(xyz-z) e^{-(x^2+y^2+\sin(z))} \delta(y) dy dz dx
+ \integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2} \cos(xyz-z) e^{-(x^2+y^2+\sin(z))} \delta(z) dz dy dx
[/mm]
Dann kannst Du Dir die Deltadistributionen anschauen (so lese ich Dein [mm] \delta(x) [/mm] ). Grundsätzlich ist die Deltadistribution so
definiert, dass
[mm] \integral_{x\in I} \delta(x)f(x) [/mm] dx = f(0) falls [mm] 0\in [/mm] I, sonst 0.
Damit hast Du Dein Integral auf zwei Doppelintegrale zurückgeführt:
[mm]
\integral_{x\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2}\cos(x0z-z) e^{-(x^2+0^2+\sin(z))} dz dx
+ \integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR} \cos(xy0-0) e^{-(x^2+y^2+\sin(0))} dy dx
[/mm]
[mm]
=\integral_{x\in\IR}\integral_{z=-\pi}^{\pi/2} \cos(z) e^{-(x^2+\sin(z))} dz dx
+ \integral_{x\in\IR}\integral_{y\in\IR} e^{-(x^2+y^2)} dy dx
[/mm]
Da Du nur Tipps wolltest, löse ich es nicht ganz auf.
Dennoch ein (nicht vollständig durchdachter) Hinweis: Beim linken Integral kannst Du erst die e-Funktion auseinanderziehen und dann Richtung z mit der Kettenregel integrieren.
Bei den anderen Integralen würde ich mit Polarkoordinaten ansetzen.
Nun ja... vielleicht doch ein etwas expliziterer Tipp:
Anstelle von
[mm]
\integral_{x\in\IR} e^{-x^2} dx
[/mm]
könntest Du das Quadrat dieses Ausdruckes berechnen:
[mm]
\integral_{x\in\IR} e^{-x^2} dx * \integral_{x\in\IR} e^{-y^2} dy
= \integral_{x,y\in\IR} e^{-(x^2+y^2)} dx dy
= \integral_{\varphi=0}^{2\pi}\integral_{r\in\IR^+} e^{-(r^2)} r dr d\varphi
[/mm]
Warum Du das tun solltest? Wegen dem r in [mm] dxdy=rdrd\varphi.
[/mm]
Damit bekommst Du die e-Funktion wieder über die Kettenregel
integriert.
Den Rest überlasse ich jetzt aber Dir!
Viel Erfolg und liebe Grüße
Markus-Hermann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 03.07.2007 | | Autor: | laravi |
wow, danke schon für die sogar sehr ausführlichen hinweise :)
ich werd mich jetzt nochmal ransetzen und dann hoffentlich auch was vernünftiges kommen :)
lg laravi
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