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Hallo Leute,
bis zu meiner Klausur ist leider nicht mehr lange hin (Donnerstag) und wieder einmal bräuchte ich die Hilfe von ein paar hellen Matheköpfen.
Man berechne das Volumen, das durch die Zylinder x² + y² [mm] \le [/mm] 1, x² + z² [mm] \le [/mm] 1 und y² + z² [mm] \le [/mm] 1 eingeschlossen wird.
Welche Form hat diese Schnittmenge?
Mein Integral lt.
[mm] \integral_{-\wurzel{1-y²}}^{\wurzel{1-y²}}{\integral_{-\wurzel{1-x²}}^{\wurzel{1-x²}}{\integral_{-\wurzel{1-z²}}^{\wurzel{1-z²}}{1 dx} dy} dz}
[/mm]
Dieses Integral kann jedoch nicht stimmen, da in der äußersten Grenze noch Variablen enthalten sind.
Danke
Prof.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mo 27.03.2006 | | Autor: | rahu |
hallo,
ich kann mich dunkel daran erinner dass sowas in zylinderkoordinaten transformiert werden muss:
x ( r, phi, z) = r* cos (phi)
y(r,phi,z) = r*sin(phi)
z=z
[mm] \Delta(r,phi,z)=r [/mm] //Funktionsdeterminate
[mm] \integral_{ }^{ }{ \integral_{ }^{ }{ \integral_{ }^{ }{f(x,y,z)*|\Delta(r,phi,z)| dx} dy} dz}
[/mm]
hoffe das hilft dir weiter.
mfg
rahu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo,
wie funktioniert das bei dieser Aufgabe mit Zylinderkoordinaten? Wie sind deine Integrationsgrenzen?
Das Volumen der Schnittmenge ist lt. Lösungsbuch 8(2 - [mm] \wurzel{2})
[/mm]
Bei Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten müsste jedoch meines Wissens in der Lösung ein [mm] \pi [/mm] auftauchen.
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 28.03.2006 | | Autor: | rahu |
hallo,
das [mm] \pi [/mm] geht weg weil du das ja in den sinus bzw. den cosinus einsetzt 
und die intergationsgrenzen kannst dir anhand ner kleinen zeichung leicht selber überlegen.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 Di 28.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Es gibt eine allgemeine Vorgehensweise und Formel für Rotationskörper. Das ganze beruht auf dem Prinzip von Cavalieri und ![[]](/images/popup.gif) hier wird erläutert wie es geht.
Gruß,
dormant
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Hallo,
ich glaube nicht, dass diese Aufgabe über Zylinder- bzw. Kugelkoordianten gelöst werden kann, da in der Lösung KEIN [mm] \pi [/mm] vorkommen (siehe Mitteilung!).
Ich glaube nicht, dass es sich hierbei um einen Rotationskörper handelt.
Wie kann ich also diese Aufgabe dann berechnen?
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 28.03.2006 | | Autor: | dormant |
> Hallo,
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> ich glaube nicht, dass diese Aufgabe über Zylinder- bzw.
> Kugelkoordianten gelöst werden kann, da in der Lösung KEIN
> [mm]\pi[/mm] vorkommen (siehe Mitteilung!).
Mit Zylinderkoordinaten geht es, was das mit einem [mm] \pi [/mm] zusammenhängt versteh ich nicht. Das könnte sich aufheben. Hast du es versucht?
> Ich glaube nicht, dass es sich hierbei um einen
> Rotationskörper handelt.
Du willst doch das Volumen eines Zylinder berechnen, oder? Ein Zylinder ist ein Rotationskörper.
Gruß,
dormant
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Hallo,
das Volumen, das zu berechnen ist, ist kein Zylinder!!! Würde man es mit Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten lösen, wäre die äußerste Integralgrenze von 0 bis [mm] 2\pi. [/mm] Folglich würde sich [mm] \pi [/mm] auch nicht wegkürzen.
Die Schnittmenge der drei Zylinder ist bestimmt KEIN Rotationskörper!
Ein Würfel mit gewölbten Flächen wäre gut möglich.
Weiß jemand, wie die Integralgrenzen meiner Schnittmenge lauten?
Gruß
Prof.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Di 28.03.2006 | | Autor: | metzga |
Also mit Kugelkoordinaten funktioniert es glaube ich nicht, da man nicht das Volumen der
Zylinder berechnen soll, sondern deren Schnittmenge.
Also denke ich dass man zuerst eine Funktion/ Bedingung aufstellen muss, die allen Bedingungen gerecht wird:
[mm]1.\ x^2+y^2\le1[/mm]
[mm]2.\ x^2+z^2\le1[/mm]
[mm]3.\ y^2+z^2\le1[/mm]
Es sicher auch hilfreich sich das Gebilde mal vorzustellen.
Bitte verbessert mich wenn ich falsch liege , ich stell mir die Schnittmenge als
Würfel mit gewölbten Seiten vor.
MfG
metzga
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Nachdem gestern abend das System hier zusammenbrach, jetzt doch noch die Antwort am frühen Morgen:
Der Schnittkörper ist symmetrisch bezüglich der drei Koordinatenebenen. Es genügt daher, das Volumen des Stücks im ersten Oktanten [mm]x,y,z \geq 0[/mm] zu berechnen und zu verachtfachen. Da alle Bedingungen symmetrisch in [mm]x,y[/mm] sind, kann man weiter [mm]x \geq y[/mm] annehmen und muß dafür noch einmal verdoppeln, insgesamt also versechzehnfachen. Definiert man den Bereich [mm]A[/mm] durch
[mm]A: \ \ \begin{matrix} \text{(I)} & & x^2 + y^2 \leq 1 \\ \text{(II)} & & x^2 + z^2 \leq 1 \\ \text{(III)} & & y^2 + z^2 \leq 1 \\ \text{(IV)} & & x,y,z \geq 0 \\ \text{(V)} & & x \geq y \end{matrix}[/mm]
so ist
[mm]V = 16 \int_A~~\mathrm{d}(x,y,z)[/mm]
das gesuchte Volumen.
1. Zunächst integrieren wir über [mm]x[/mm]. Wegen [mm]\text{(I),(IV)}[/mm] hat man [mm]0 \leq x \leq 1[/mm] als in Frage kommende Werte.
2. Jetzt denken wir uns [mm]x[/mm] festgehalten und suchen die zugehörigen [mm]y[/mm]. Nach [mm]\text{(I),(IV)}[/mm] muß [mm]0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}[/mm] gelten, nach [mm]\text{(V),(IV)}[/mm] dagegen [mm]0 \leq y \leq x[/mm]. Insgesamt folgt: [mm]0 \leq y \leq \min{\left( x , \sqrt{1-x^2} \right)}[/mm].
3. Jetzt denken wir uns [mm]x,y[/mm] festgehalten und suchen die zugehörigen [mm]z[/mm]. Nach [mm]\text{(II),(IV)}[/mm] folgt: [mm]0 \leq z \leq \sqrt{1-x^2}[/mm], nach [mm]\text{(III),(IV)}[/mm] andererseits [mm]0 \leq z \leq \sqrt{1-y^2}[/mm]. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wegen [mm]\text{(V)}[/mm] gilt jedoch [mm]\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{1-y^2}[/mm], so daß man als Integrationsbereich für [mm]z[/mm] nur [mm]0 \leq z \leq \sqrt{1-x^2}[/mm] hat.
[mm]V = 16 \int_0^1~\left( \int_0^{\min{\left( x , \sqrt{1-x^2} \right)}}~\left( \int_0^{\sqrt{1-x^2}}~~\mathrm{d}z \right)~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x = 16 \int_0^1~\sqrt{1-x^2} \cdot \min{\left( x , \sqrt{1-x^2} \right)}~\mathrm{d}x[/mm]
Jetzt muß man das Integrationsintervall aufteilen in [mm]\left[ 0 , \sqrt{\frac{1}{2}} \right][/mm] und [mm]\left[ \sqrt{\frac{1}{2}} , 1 \right][/mm]. Im ersten Intervall ist [mm]x[/mm] das Minimum, im zweiten [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm]:
[mm]V = 16 \cdot \left( \int_0^{\sqrt{\frac{1}{2}}}~x \sqrt{1-x^2}~\mathrm{d}x + \int_{\sqrt{\frac{1}{2}}}^1~\left( 1 - x^2 \right)~\mathrm{d}x \right)[/mm]
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