Volumen von Teilmenge im R³ < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Man berechne das Volumen der folgenden Teilmenge von R³
B={(x,y,z) | 4x²+y² ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ [mm] \wurzel{1-4x^{2}-y^{2}} [/mm] }
Hallo,
ich habe Probleme damit die Grenzen zu bestimmen. Die Grenze von z ist klar, aber wie lauten sie von x und y ?
Kann ich außerdem irgendwie das -4x²-y² von z ausnutzen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
mach dir mal folgendes klar:
[mm] $4x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 [mm] \quad \gdw \quad y^2 \le [/mm] 1 [mm] \wedge x^2 \le \bruch{1-y^2}{4}$
[/mm]
Nun kannst du deine Integrationsgrenzen direkt ablesen 
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Man berechne das Volumen der folgenden Teilmenge von R³
>
>$ B=\{(x,y,z) | 4x²+y² ≤ 1 , 0 ≤ z ≤[mm]\wurzel{1-4x^{2}-y^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\}$
> Hallo,
>
> ich habe Probleme damit die Grenzen zu bestimmen. Die
> Grenze von z ist klar, aber wie lauten sie von x und y ?
eine Möglichkeit hat Gonozal_IX Dir ja schon genannt. Eine andere ist:
Stelle $4x^2+y^2\leq 1$ nach y um. Du erhältst eine Bedingung mit einer Wurzel die von x abhängt. Daraus bekommmst Du dann eine Bedingung für x.
>
> Kann ich außerdem irgendwie das -4x²-y² von z
> ausnutzen?
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Kann ich also sagen
[mm] y\le \wurzel[2]{1-4x^2}
[/mm]
und daraus folgt
[mm] 4x^2\le1 \Rightarrow x\le \wurzel {\bruch{1}{4}}
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> Kann ich also sagen
>
> [mm]y\le \wurzel[2]{1-4x^2}[/mm]
Da fehlt noch was: [mm] $y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}$
[/mm]
>
> und daraus folgt
>
> [mm]4x^2\le1 \Rightarrow x\le \wurzel {\bruch{1}{4}}[/mm]
hier genauso.
>
> ?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Da fehlt noch was: [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm]
das ist falsch.
Es muss [mm] $-\sqrt{1-4x^2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{1-4x^2}$ [/mm] heißen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:45 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
Hi Gono,
> Hiho,
>
> > Da fehlt noch was: [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm]
>
> das ist falsch.
ich erkenne gerade nicht, was daran falsch sein soll. Aus [mm] $y^2\leq 1-4x^2$ [/mm] folgt doch zunächst [mm] $y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}$, [/mm] oder nicht?
> Es muss [mm]-\sqrt{1-4x^2} \le y \le \sqrt{1-4x^2}[/mm] heißen.
Das sehe ich auch so, habe ich ja auch weiter unten gepostet.
>
> MFG,
> Gono.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Hiho,
> ich erkenne gerade nicht, was daran falsch sein soll. Aus
> [mm]y^2\leq 1-4x^2[/mm] folgt doch zunächst [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm],
> oder nicht?
oder nicht.
> > Es muss [mm]-\sqrt{1-4x^2} \le y \le \sqrt{1-4x^2}[/mm] heißen.
>
> Das sehe ich auch so, habe ich ja auch weiter unten
> gepostet.
Das ist aber was anderes als [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm], denn das würde ja insbesondere heißen, dass [mm]y\leq - \sqrt{1-4x^2}[/mm], es muss aber [mm]y\geq - \sqrt{1-4x^2}[/mm] heißen.
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:01 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> Hiho,
>
>
> > ich erkenne gerade nicht, was daran falsch sein soll. Aus
> > [mm]y^2\leq 1-4x^2[/mm] folgt doch zunächst [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm],
> > oder nicht?
>
> oder nicht.
>
> > > Es muss [mm]-\sqrt{1-4x^2} \le y \le \sqrt{1-4x^2}[/mm] heißen.
> >
> > Das sehe ich auch so, habe ich ja auch weiter unten
> > gepostet.
>
> Das ist aber was anderes als [mm]y\leq\pm\sqrt{1-4x^2}[/mm], denn
> das würde ja insbesondere heißen, dass [mm]y\leq - \sqrt{1-4x^2}[/mm],
Das stimmt.
> es muss aber [mm]y\geq - \sqrt{1-4x^2}[/mm] heißen.
Hmmm. Mir ist gerade nicht klar, wie man logisch korrekt auf die richtigen Grenzen kommt. Ich habe das einfach 'intuitiv' gemacht.
>
> MFG;
> Gono.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:28 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hmmm. Mir ist gerade nicht klar, wie man logisch korrekt
> auf die richtigen Grenzen kommt. Ich habe das einfach
> 'intuitiv' gemacht.
du hast doch alles richtig gemacht, bis auf die (grundlegende!) Umformung zum Schluß.
Aus [mm] $x^2 \le [/mm] c$ folgt eben NICHT $x [mm] \le \pm \sqrt{c}$, [/mm] sondern erstmal nur $|x| [mm] \le \sqrt{c}$ [/mm] und daraus eben $- [mm] \le [/mm] x [mm] \le \sqrt{c}$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 21:46 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
Vielen Dank Gono, dass Du uns (oder zumindest mich) erleuchtet hast
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
also geht x von -1/2 bis 1/2
und y von -1 bis 1
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Aber wenn ich für x zB 0 einsetze könnte ich doch
[mm] \pm\wurzel{1} [/mm] kriegen also -1 bis 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> Aber wenn ich für x zB 0 einsetze könnte ich doch
>
> [mm]\pm\wurzel{1}[/mm] kriegen also -1 bis 1
Ja, aber auch nur für x=0. Es wird aber über alle x zwischen [mm] $-\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}$ [/mm] aufsummiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
wenn ich -1/2 oder 1/2 einsetze kriege ich doch 0 raus.
und wenn ich 0 einsetze kriege ich [mm] \pm1 [/mm] raus.
oder wie meinst du das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> wenn ich -1/2 oder 1/2 einsetze kriege ich doch 0 raus.
Wenn Du das wo einsetzt?
>
> und wenn ich 0 einsetze kriege ich [mm]\pm1[/mm] raus.
Wo kommt das raus? Und selbst wenn, was spielt das für eine Rolle? x nimmt jeden Wert zwischen $ [mm] -\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2} [/mm] $ an und y hängt von x ab. Es spielt keine Rolle, welchen Wert y für einen bestimmten x-Wert annimmt. Es muss über alle x-Werte integriert werden.
>
> oder wie meinst du das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
haben wir nicht
[mm] y\le\wurzel {1-4x^2} [/mm] gesagt?
ich habe hier halt x eingesetzt und geguckt was rauskommen könnte
oder geht y von [mm] 0\le [/mm] y [mm] \le\wurzel {1-4x^2}
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> haben wir nicht
>
> [mm]y\le\wurzel {1-4x^2}[/mm] gesagt?
Nein, ich sagte: $ [mm] y\leq\pm\sqrt{1-4x^2} [/mm] $
>
> ich habe hier halt x eingesetzt und geguckt was rauskommen
> könnte
Das kannst Du ja auch tun. Aber beim Integrieren musst Du alle x im entsprechenden Intervall mitnehmen und nicht nur irgendwelche Spezialfälle die Du Dir aussuchst.
Die Grenzen für z sind Dir doch klar:
[mm] $0\leq z\leq\wurzel{1-4x^{2}-y^{2}} [/mm] $
Das sind die Grenzen, die hängen eben von x und y ab. Es wird über alle x und y, die im entsprechenden Bereich liegen integriert und nicht nur über z.B. $x=y=0$
>
> oder geht y von [mm]0\le[/mm] y [mm]\le\wurzel {1-4x^2}[/mm]
Du hast doch aus [mm] $x\le \pm\wurzel {\bruch{1}{4}}$ [/mm] erfolgreich den Integrationsbereich [mm] $-\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}$ [/mm] bestimmt.
Exakt genauso geht das auch mit: $ [mm] y\leq\pm\sqrt{1-4x^2} [/mm] $
>
> ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 03.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
also
[mm] -1+4x^2\le [/mm] y [mm] \le1-4x^2
[/mm]
? hmm
wie kann ich denn daraus die wurzel ziehen?
und wenn ich dann die grenzen habe
wie soll ich über [mm] \integral_{a}^{b}{ \q\wurzel{1-4x^2-y^2} dxdy} [/mm] integrieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 03.03.2012 | | Autor: | notinX |
> also
>
> [mm]-1+4x^2\le[/mm] y [mm]\le1-4x^2[/mm]
>
> ? hmm
Nein. In völliger Analogie zu: $ [mm] x^2\le{\bruch{1}{4}} \Rightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}$
[/mm]
folgt:
$ [mm] y^2\leq 1-4x^2\Rightarrow -\sqrt{1-4x^2}\leq y\leq\sqrt{1-4x^2} [/mm] $
>
> wie kann ich denn daraus die wurzel ziehen?
>
> und wenn ich dann die grenzen habe
>
> wie soll ich über [mm]\integral_{a}^{b}{ \q\wurzel{1-4x^2-y^2} dxdy}[/mm]
> integrieren?
Du musst zuerst über y integrieren, weil die Grenzen noch von x abhängen.
Wie Du das anstellst ist Dir überlassen -> Integraltabelle, CAS, von Hand,...
|
|
|
| |
|
Hiho,
damit wir auch alle auf dem gleichen Stand sind, solltest du mal hinschreiben, was du als zu berechnendes (Mehrfach-)Integral herausbekommen hast.
Formal könntest du auch zwei hinschreiben, abhängig davon, wonach du die erste Gleichung umgestellt hast.
Und zum Thema ausrechnen: Du solltest durchaus in der Lage sein die auftretenden Integrale "von Hand" zu lösen. Bekannte Methoden dafür wären sicherlich "draufgucken" oder "substituieren" 
MFG,
Gono.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 04.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Hallo,
also dann wären wir jetzt bei
[mm] \integral_{-\wurzel{1-4x^2}}^{\wurzel{1-4x^2}} \integral_{-1/2}^{1/2} \q\wurzel{1-4x^2-y^2} [/mm] dx dy
Ich habe Null Ahnung wie ich das integrieren soll.
Vielleicht kann ich ausnutzen dass [mm] 1-4x^2 [/mm] in den Grenzen und im Integral vorkommt?
Mit Wolframalpha kommt als ergebnis [mm] \bruch{pi}{3} [/mm] raus. hmm
|
|
|
| |
|
Hallo dasd2516,
> Hallo,
>
> also dann wären wir jetzt bei
>
> [mm]\integral_{-\wurzel{1-4x^2}}^{\wurzel{1-4x^2}} \integral_{-1/2}^{1/2} \q\wurzel{1-4x^2-y^2}[/mm]
> dx dy
>
Das Doppelintegral lautet doch so:
[mm]\integral_{-1/2}^{1/2}{\integral_{-\wurzel{1-4x^2}}^{\wurzel{1-4x^2}} {\wurzel{1-4x^2-y^2} \ dy } \ dx}[/mm]
> Ich habe Null Ahnung wie ich das integrieren soll.
> Vielleicht kann ich ausnutzen dass [mm]1-4x^2[/mm] in den Grenzen
> und im Integral vorkommt?
>
Ja, das kannst Du ausnutzen.
> Mit Wolframalpha kommt als ergebnis [mm]\bruch{pi}{3}[/mm] raus.
> hmm
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 04.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Kann ich ein paar Tipps haben?
|
|
|
| |
|
Hallo dasd2516,
> Kann ich ein paar Tipps haben?
Substituiere
[mm]y=\wurzel{1-4*x^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das ganze ist ein Ellipsoid oder nicht?
benutzen wir Kugelkoordinaten?
Aber dann hätten wir doch gar nicht die grenzen berechnen müssen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 06.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 04.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
B= (x,y,z) | 4x²+y² ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ $ [mm] \wurzel{1-4x^{2}-y^{2}}
[/mm]
Ich habe mal jetzt einen neuen Ansatz
B= [mm] \integral_{A} \integral_{0}^{\wurzel[]{ 1-4x^2-y}}{1} [/mm] dz d(x,y)
= [mm] \integral_{A} {\wurzel[]{ 1-4x^2-y} } [/mm] d(x,y)
x= r*cos(c)
y= r*sin(c)
= [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2pi}{\wurzel{1-4(r*cos(c))^2-(r*sin(c))^2}*r dcdr}
[/mm]
so jetzt komme ich nicht mehr weiter.
es wäre doch eigentlich schön wenn ich [mm] sin(c)^2+cos(c)^2=1 [/mm] kriegen würde, aber es haut nicht hin
|
|
|
| |
|
Hallo dasd2516,
> B= (x,y,z) | 4x²+y² ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ $
> [mm]\wurzel{1-4x^{2}-y^{2}}[/mm]
>
> Ich habe mal jetzt einen neuen Ansatz
>
> B= [mm]\integral_{A} \integral_{0}^{\wurzel[]{ 1-4x^2-y}}{1}[/mm]
> dz d(x,y)
>
> = [mm]\integral_{A} {\wurzel[]{ 1-4x^2-y} }[/mm] d(x,y)
>
> x= r*cos(c)
> y= r*sin(c)
>
> = [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2pi}{\wurzel{1-4(r*cos(c))^2-(r*sin(c))^2}*r dcdr}[/mm]
>
> so jetzt komme ich nicht mehr weiter.
>
> es wäre doch eigentlich schön wenn ich
> [mm]sin(c)^2+cos(c)^2=1[/mm] kriegen würde, aber es haut nicht hin
Dann ist die Paramtertransformation hinsichtlich x so zu wählen:
[mm]x=\blue{\bruch{1}{2}}*r*\cos\left(c\right)[/mm]
Desweiteren ist hier noch die ![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminante zu berücksichtigen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 06.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
Hallo,
die Funktionaldeterminaten ist doch bei Polarkoordinaten immer r oder nicht?
cos*r*cos + r*sin*sin
[mm] r*(cos^2+sin^2) [/mm] = 1
|
|
|
| |
|
Hallo dasd2615,
> Hallo,
>
> die Funktionaldeterminaten ist doch bei Polarkoordinaten
> immer r oder nicht?
>
Wenn es sich um einen Kreis als Parametertransformation handelt, ja.
Hier handelt es sich aber um eine Ellipse.
> cos*r*cos + r*sin*sin
>
> [mm]r*(cos^2+sin^2)[/mm] = 1
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 06.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
x = a*r*cos
y = b*r*sin
det = a*b*r
also ist in meinem fall die Funktionaldeterminaten 1/2*r
richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo dasd2516,
,
> x = a*r*cos
> y = b*r*sin
>
> det = a*b*r
>
> also ist in meinem fall die Funktionaldeterminaten 1/2*r
>
> richtig?
Richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Di 06.03.2012 | | Autor: | dasd2516 |
super danke. ich habe jetzt mithilfe einer substitution integriert und bin auf das durch wolframalpha bestätigte ergebnis von pi/3 gekommen.
war eine schwere geburt aber hab viel gelernt. :-D
|
|
|
| |
|
> Man berechne das Volumen der folgenden Teilmenge von [mm] \IR^3
[/mm]
>
> $\ B\ =\ [mm] \{(x,y,z)\ |\ 4x^2+y^2\ \le\ 1\ \ , \ 0 \le z \le \wurzel{1-4x^2-y^2}\ \}$
[/mm]
Hallo,
die einfache Lösung dieser Aufgabe bestünde in einer
einfachen linearen Koordinatentransformation, welche
die Menge B auf eine Hälfte der Einheitskugel abbildet.
Da das Kugelvolumen als bekannt vorausgesetzt werden
kann (so ist wenigstens zu hoffen), kann man auch das
Volumen von B ganz leicht berechnen, ohne wirklich
ein Doppel- oder Dreifachintegral durchzuführen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
