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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 So 14.10.2007 | | Autor: | Dr.Sinus |
| Aufgabe | Der zwischen den Geraden x=-2a und x=2a liegende Teil der Hyperbel
[mm] hyp=b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} [/mm] rotiert um die 1. Achse.
Beweise, dass das Volumen [mm] \bruch{8\pi}{3}ab^{2} [/mm] |
Tagchen!
Habe bei der o.g Rechnung ein Problem, da ich nicht auf das richtige Ergebnis komme!
Mein Lösungsvorschlag:
[mm] hyp=b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}
[/mm]
[mm] y^{2}=\bruch{b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}}
[/mm]
V= [mm] \pi *\integral_{-2a}^{2a}{f(x^{2}) dx}
[/mm]
V= [mm] 2\pi*\integral_{0}^{2a}\bruch{b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}} [/mm] dx
F(x)= [mm] \bruch{b^{2}x^{3}}{3a^{2}}-\bruch{b^{2}x}{1}
[/mm]
Wenn ich das dann aber einsetze kommt bei mir folgendes heraus:
V= [mm] 2\pi (\bruch{b^2*8a}{3}-\bruch{3b^2*6a}{3}
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
Vielen Dank im Vorraus!
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> Der zwischen den Geraden x=-2a und x=2a liegende Teil der
> Hyperbel
> [mm]hyp=b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}[/mm] rotiert um die 1.
> Achse.
>
> Beweise, dass das Volumen [mm]\bruch{8\pi}{3}ab^{2}[/mm]
> Tagchen!
> Habe bei der o.g Rechnung ein Problem, da ich nicht auf
> das richtige Ergebnis komme!
>
> Mein Lösungsvorschlag:
> [mm]hyp=b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}[/mm]
>
> [mm]y^{2}=\bruch{b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}}[/mm]
>
> V= [mm]\pi *\integral_{-2a}^{2a}{f(x^{2}) dx}[/mm]
>
> V=
> [mm]2\pi*\integral_{0}^{2a}\bruch{b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}}[/mm]
> dx
>
> F(x)= [mm]\bruch{b^{2}x^{3}}{3a^{2}}-\bruch{b^{2}x}{1}[/mm]
>
> Wenn ich das dann aber einsetze kommt bei mir folgendes
> heraus:
>
> V= [mm]2\pi (\bruch{b^2*8a}{3}-\bruch{3b^2*6a}{3}[/mm]
>
Vorsicht, nicht durchintegrieren: Die Hyperbel hat zwei Äste zwischen -2a und 2 a, aber für y=0 z.B. gibt es keinen Funktionswert. Du musst also nur den rechten Ast vom kleinstmöglichen positiven Wert bis 2a integrieren und dann das Ergebnis wegen der Symmetrie zur y-Achse mit 2 multiplizieren.
> Wo liegt der Fehler?
>
> Vielen Dank im Vorraus!
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