Volumen finden zw.2.Funkt. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 02.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Tachchn liebe Matheraum Community.
Ich bin hier auf folgende Frage gestossen:
Finde das Volumen welches von beiden Funktionen eingeschlossen wird:
z = 2x & z = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
Soweit bin ich gekommen:
2x = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1) [mm] y^{2} [/mm] + [mm] (x-1)^{2} [/mm] = 1
also habe ich schonmal die Form gefunden wie sich die zwei Funktionen schneiden, ein Kreis dessen MP bei x=1 und y=0 befindet.
Ich weiss auch dass x = [mm] \cos(\alpha) [/mm] & y = [mm] \sin(\alpha) [/mm] , wobei in diesem Fall eher
[mm] x=\cos(\alpha) [/mm] +1 der Fall ist... aber da ich bei [mm] x=\cos(\alpha) [/mm] bleiben will, setze ich dies in meiner Kreisgleichung 1) ein.. herauskommt :
2) [mm] r=2\cos(\alpha)
[/mm]
ich weiss dass:
z: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] r^{2} \to [/mm] 2x = [mm] 2r\cos(\alpha)
[/mm]
r: [mm] 0\to 2\cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \alpha: [/mm] -90 [mm] \to [/mm] 90
und damit hat sich die Sache eigentlich geklaert...
also entweder ich berechne:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\cos(\alpha)}\integral_{r^{2}}^{2r\cos(\alpha)}r{dz}{dr}{d\alpha}
[/mm]
oder:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2} \integral_{0}^{4} \integral_{z/(2\cos(\alpha))}^{\wurzel{z}}r{dr}{dz}{d\alpha}
[/mm]
so... was meint ihr, es kommt nicht das gleiche heraus, ist eins davon ueberhaupt richtig???
danke im vorraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Tachchn liebe Matheraum Community.
>
> Ich bin hier auf folgende Frage gestossen:
>
> Finde das Volumen welches von beiden Funktionen
> eingeschlossen wird:
> z = 2x & z = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
>
> Soweit bin ich gekommen:
>
> 2x = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1) [mm]y^{2}[/mm] + [mm](x-1)^{2}[/mm] = 1
>
> also habe ich schonmal die Form gefunden wie sich die zwei
> Funktionen schneiden, ein Kreis dessen MP bei x=1 und y=0
> befindet.
Ich halte diese Interpretation für falsch. Wo soll der Kreis denn liegen? Wir sind doch im 3-dimensionalen Raum. "Bestenfalls" ist dieser Kreis die Projektion der Schnittfigur in die x-y-Ebene.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Ja, nenne es wie du willst. Ich studiere hier nicht auf Deutsch also korregiere mich ruhig wenn ich die Sachen nicht richtig beim Namen nenne, aber das tut auch nichts zur Sache. Ist doch selbstverständlich dass dieser Kreis in der x-y-Ebene liegt, also sozugasen man schaut von oben drauf.
Entschuldigung dies sagen zu müssen, aber versuch mir doch mit der eigentlichen Frage zu helfen anstatt so kleinlich nach falschen Definitionen zu suchen.
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> Ja, nenne es wie du willst. Ich studiere hier nicht auf
> Deutsch also korregiere mich ruhig wenn ich die Sachen
> nicht richtig beim Namen nenne, aber das tut auch nichts
> zur Sache. Ist doch selbstverständlich dass dieser Kreis in
> der x-y-Ebene liegt, also sozugasen man schaut von oben
> drauf.
>
> Entschuldigung dies sagen zu müssen, aber versuch mir doch
> mit der eigentlichen Frage zu helfen anstatt so kleinlich
> nach falschen Definitionen zu suchen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch.
Aus gegebenem Anlaß weise ich insbesondere auf den Passus "Freundlicher Umgangston" hin.
Aus meiner Sicht hat Dir korbinian versucht zu helfen, indem er Dich auf einen Denkfehler hingewiesen hat, Dies hat nichts mit einer "kleinlichen Suche" nach falschen Definitionen zu tun.
Überlege Dir einmal, was für ein Gebilde Du bei der Funktion z=2x vorliegen hast: es ist eine Ebene durch den Ursprung mit dem Normalenvektor [mm] \vektor{2\\0 \\ -1}. [/mm] Keinesfalls handelt es sich hierbei um die xy-Ebene, und daher möchte ich - ohne mich weiter mit den Details der Aufgabe zu befassen - arg bezweifeln, daß das Schnittgebilde dieser Funktion mit der anderen Dir vorliegenden ein Kreis in der xy-Ebene ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Erstmal entschuldigung fuer meinen unfreundlichen Umgangston, ich wollte niemanden Angreifen, nur zum Voranschreiten anspornen.
Zur Frage an sich:
Was bedeutet deiner Meinung nach dann, dass durch die Gleichstellung (Ich weiss dass man Gleichungen nicht nochmal gleichstellen kann, das is doppelt gemoppelt, weiss nich wie man das sonst nennt), also 2x = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] , herauskommt...?? [mm] \Rightarrow y^{2} [/mm] + [mm] (x-1)^{2} [/mm] = 1 muss doch von oben gesehen, d.h. xy ebene, der schnitt zw. den beiden Funktionen sein. Natuerlich liegt dieser Kreis nicht direkt auf der xy ebene, aber man muss sich das so vorstellen. Sollte man das Gebilde von oben betrachten, so schaut der Schnitt beider Funktionen wie ein Kreis aus. in wirklichkeit liegt er natuerlich schief und hat Hoehe, jedoch von oben betrachtet erscheint er wie ein Kreis, wegen optischer verzerrung (oder so)...
um auf den punkt zu kommen... das is genau was zaehlt, dieser "Kreis" kann auch durch [mm] r=2\cos(\alpha) [/mm] beschrieben werden, denn was ich brauche ist :
bei [mm] \alpha [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] r=2
bei [mm] \pm\pi/2 \to [/mm] r=0
die bedingung ist doch damit erfuellt... ich glaube dass das zweite integral aus meinen vorschlaegen falsch ist und dass das erste stimmt. was meint ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 03.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk deine beiden Ansätze sind falsch.
Du kannst deinen Kreis nicht mit cost, sint parametrisieren, und dann t von [mm] -\\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm] laufen lassen. dann ginge ja x von -1 bis +1!
wenn du Polarkoordinaten nutzen willst dann x=cost +1; y=sint, z=2*cost+2
und t von 0 bis [mm] 2\pi.
[/mm]
Warum nicht:
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{(1-(x-1)^2}} \integral_{x^2+y^2}^{2x}{dz dy dx}
[/mm]
Wenn du jetzt willst kannst du ja obige, richtige Polarkoordinaten staat x, y einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Erklaere mir dann bitte was daran falsch ist? Natuerlich stimmt x = [mm] \cos(t)+1 [/mm] hier, aber da ich in polarkordinaten bleiben will, und bei [mm] x=\cos(t) [/mm] und [mm] y=\sin(t) [/mm] bleiben will, habe ich folgendes einfach in [mm] y^{2} [/mm] + [mm] (x-1)^{2} [/mm] =1 eingesetzt und [mm] r=2\cos(t) [/mm] bekommen. Da mein erstes Integral {dz} ist habe ich ja schon alles was z betrifft eingegraenzt, da fehlt mir nurnoch r und der Winkel. [mm] r=2\cos(t) [/mm] stimmt daher fuer alle z, da dies aus 2x = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] herausging. In Maple habe ich mir das mal angeguckt und "von oben betrachtet" sieht des genau so aus. [mm] r=2\cos(t) [/mm] passt da genau. Und es geht von [mm] -\pi/2 \to \pi/2 [/mm] gerade eben weil der winkel von +x in richtung +y definiert ist, aber da [mm] 2\cos(t) [/mm] bei [mm] -\pi/2 [/mm] anfaengt glaube ich dass wenigstens an diesen graenzen nichts auszusetzen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 03.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Erklaere mir dann bitte was daran falsch ist? Natuerlich
> stimmt x = [mm]\cos(t)+1[/mm] hier, aber da ich in polarkordinaten
> bleiben will, und bei [mm]x=\cos(t)[/mm] und [mm]y=\sin(t)[/mm] bleiben will,
> habe ich folgendes einfach in [mm]y^{2}[/mm] + [mm](x-1)^{2}[/mm] =1
> eingesetzt und [mm]r=2\cos(t)[/mm] bekommen. Da mein erstes Integral
du hast in ne Kreisgleichung eingesetzt und rausgekriegt, [mm] x^2+y^2=2cost, [/mm] aber wieso ist dann r=2cost? wenn dann wär das schon [mm] r^2!
[/mm]
und [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] ist ein Kreis um 0. [mm] x^2+y^2 [/mm] ist das Quadrat des Abstandes von 0!
Ob noch was faul dran ist seh ich grad nicht, aber das sicher! und [mm] \wurzel{cost} [/mm] zu integrieren ist sicher kein Spass.
[mm] >x^2+y^2=r
[/mm]
> {dz} ist habe ich ja schon alles was z betrifft
> eingegraenzt, da fehlt mir nurnoch r und der Winkel.
> [mm]r=2\cos(t)[/mm] stimmt daher fuer alle z, da dies aus 2x = [mm]x^{2}[/mm]
> + [mm]y^{2}[/mm] herausging. In Maple habe ich mir das mal angeguckt
> und "von oben betrachtet" sieht des genau so aus.
> [mm]r=2\cos(t)[/mm] passt da genau. Und es geht von [mm]-\pi/2 \to \pi/2[/mm]
> gerade eben weil der winkel von +x in richtung +y definiert
> ist, aber da [mm]2\cos(t)[/mm] bei [mm]-\pi/2[/mm] anfaengt glaube ich dass
> wenigstens an diesen graenzen nichts auszusetzen ist.
ausser dass es nicht r ist!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Okay , was RainerS geschrieben hat ist teilweise was ich meinte:
Der Schnittpunkt zwischen z=2x und [mm] z=x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] ist ist eine Ellipse, die auf die xy-Ebene projiziert einen Kreis ergibt, und zwar:
[mm] (x-1)^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] =1
In Polarkoordinaten gilt:
[mm] x=r\cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=r\sin(\alpha)
[/mm]
dh.:
[mm] (r\cos(\alpha) [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] + [mm] r^{2}\sin^{2}(\alpha)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] r^{2}(\underbrace{\cos^{2}(\alpha) + \sin^{2}(\alpha) }_{=1}) -2r\cos(\alpha) [/mm] + 1 =1
also:
[mm] r^{2} [/mm] = [mm] 2r\cos(\alpha) [/mm] | [mm] \*1/r
[/mm]
[mm] r=2\cos(\alpha)
[/mm]
D.h. der Kreis, die eine Projektion der Ellpise ist, die durch den schnitt beider Funktionen entstand, dieser Kreis auf der XY Ebene wird durch [mm] r=2\cos(\alpha) [/mm] beschrieben.
Jetzt zum Integral, da mein erstes Integral [mm] \integral_{r^{2}}^{2r\cos(\alpha)}{dz} [/mm] ist, habe ich damit schon die Höhe meines Gebildes eingegränzt, d.h. ich brauche nurnoch die dazugehörigen Radien für jedes z, welches ich ja eingegrenzt hab. Gerade eben weil ich vorerst z integriert habe, interessiert mich jetzt nicht mehr ob die Ellipse in die Höhe geht und wie genau, ich brauche die Projektion dieser Ellipse auf der XY Ebene, eben genau [mm] r=2\cos(\alpha), [/mm] warum sollte ich nochmals auf z rücksicht nehmen, nachdem ich es schon eingegränzt habe?
Ich bin mir inzwischen ziemlich sicher dass das Ergebnis
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\cos(\alpha)}\integral_{r^{2}}^{2\*r\cos(\alpha)}{r dz}{dr}{d\alpha} [/mm] ist.. Morgen geh ich einfach ma zum Prof und frag ihn selber...
Ich glaub aber, ich hätte mir gut getan, wäre ich in X Y Z geblieben, auch wenn das Integral an sich etwas komplizierter geworden wäre..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Di 04.09.2007 | | Autor: | LaurentF |
Also liebe Leute
ich bin heut zum Prof und hab ihn u.a. auch auf diese Frage angesprochen... also entweder:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\cos(\alpha)}\integral_{r^{2}}^{2r\cos(\alpha)}r{dz}{dr}{d\alpha}
[/mm]
oder
[mm] \integral_{0}^{2 oder so}\integral_{-\wurzel{x(2-x)}}^{\wurzel{x(2-x)}}\integral_{x^{2}+y^{2}}^{2x}{dz}{dy}{dx}
[/mm]
danke fuer die antworten
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Ich kann hier auch keine Patent-Lösung anbieten habe aber folgende Idee um das Ganze zu veranschaulichen:
Vertausche erstmal y und z - dann liegt das Ganze in der x-y-Ebene und ist leichter vorstellbar.
Dann hast du (für z=0) die Gleichungen y=2x und [mm] y=x^{2}
[/mm]
Kannst du dafür die Fläche berechnen?
Und nun für alle anderen z? (Die erste Gleichung ändert sich ja nicht.)
Das müsste über das Integral gehen von [mm] z=-\infty [/mm] bis [mm] z=\infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi!
> 2x = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1) [mm]y^{2}[/mm] + [mm](x-1)^{2}[/mm] = 1
>
> also habe ich schonmal die Form gefunden wie sich die zwei
> Funktionen schneiden, ein Kreis dessen MP bei x=1 und y=0
> befindet.
Es ist eine Ellipse, die auf die xy-Ebene projiziert einen Kreis ergibt.
>
> Ich weiss auch dass x = [mm]\cos(\alpha)[/mm] & y = [mm]\sin(\alpha)[/mm] ,
> wobei in diesem Fall eher
> [mm]x=\cos(\alpha)[/mm] +1 der Fall ist... aber da ich bei
> [mm]x=\cos(\alpha)[/mm] bleiben will, setze ich dies in meiner
> Kreisgleichung 1) ein.. herauskommt :
>
> 2) [mm]r=2\cos(\alpha)[/mm]
Wie kommst du denn dahin? Wenn ich [mm]x = \cos(\alpha)[/mm] und [mm]y = \sin(\alpha)[/mm] einsetze. komme ich auf [mm]1=2\cos\alpha[/mm]. Allerdings bekommst du mit dieser Parametrisierung ein ganz
anderes Problem: in deiner Gleichung (1) gilt [mm]-1\leq y\leq +1[/mm] und [mm]0\leq x \leq 2[/mm].
Für reelle Were von [mm]\alpha[/mm] liegt aber [mm]x = \cos(\alpha)[/mm] immer zwischen -1 und +1.
Ich nehme also an, dass du in Wirklichkeit [mm]x = r\cos(\alpha)[/mm] und [mm]y = r\sin(\alpha)[/mm] genommen hast.
> also entweder ich berechne:
>
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}\integral_{0}^{2\cos(\alpha)}\integral_{r^{2}}^{2r\cos(\alpha)}r{dz}{dr}{d\alpha}[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2} \integral_{0}^{4} \integral_{z/(2\cos(\alpha))}^{\wurzel{z}}r{dr}{dz}{d\alpha}[/mm]
Hm, von der Geometrie her darf das mittlere Integral nicht 4 als obere Grenze haben, denn für [mm]\alpha=\pm\pi/2[/mm] muss [mm]z=0[/mm] sein. Die Integration über [mm](r,z)[/mm] geht doch über ein Dreieck, dessen Ecken von [mm]\alpha[/mm] abhängen. Die obere Grenze ist dann durch die Beziehung [mm]z=r^2[/mm] gegeben, also [mm]4\cos^2\alpha[/mm].
Dann kommt zumindest bei beiden Integralen das gleiche Ergebnis raus.
Ganz sicher bin ich mir im Moment aber nicht, weil ich mir das Volumen nicht richtig vorstellen kann.
Grüße
Rainer
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