Volumen eines Körpers < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wähle geeignete Koordinatensysteme und bestimme das Volumen für den Körper, der von den Flächen {z=0}, [mm] {z=\Wurzel(x^2+y^2)} [/mm] und [mm] {(x-1/2)+y^2=1/4} [/mm] begrenzt wird. |
Hallo,
ich soll obiges Volumen berechnen.
Leider weiss ich nicht, um welchen Körper es hier geht. Also die 1. Menge und 3. Menge sind ein Zylinder , welche durch die x-y Ebene begrenzt ist. Wie schneudet die 2. Menge nun diesen Zylinder?
Und ist es sinnvoll anschließend in Polarkoordinaten weiterzurechnen?
Vielen Dank
liebe Grüße
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[mm]x^2 + y^2 = z[/mm] stellt ein Paraboloid dar (laß die Parabel [mm]z = x^2[/mm] der [mm]xz[/mm]-Ebene um die [mm]z[/mm]-Achse rotieren, dann bekommst du eine Vorstellung von dem Körper).
Offenbar ist es der Teil, der unterhalb des Paraboloids liegt, der mit dem Zylinder eine beschränkte Schnittmenge bildet. Der Körper [mm]B[/mm] wird daher durch
[mm]B: \ \ 0 \leq z \leq x^2 + y^2 \leq x[/mm]
beschrieben (die dritte Ungleichung ergibt sich aus der umgeformten Ungleichung für das Innere des Zylinders mit Rand):
[mm]V = \int_B \mathrm{d}(x,y,z)[/mm]
Und ja, Zylinderkoordinaten sind hier sinnvoll: [mm]x = r \cos t \, , \ \ y = r \sin t[/mm]
Setze dies oben in der Ungleichung ein und überlege, für welche [mm]r \geq 0[/mm] und [mm]t \in [-\pi , \pi][/mm] du lösbare Ungleichungen bekommst. Am besten beginnst du mit [mm]t[/mm]. Für welche Werte von [mm]t[/mm] kann man nur Werte von [mm]r[/mm] bestimmen?
Du kannst das Ganze auch so sehen: Zu bestimmen ist das Volumen [mm]V[/mm] unterhalb des Graphen der Funktion [mm]z = f(x,y) = x^2 + y^2[/mm] über dem Kreis [mm]x^2 + y^2 \leq x[/mm] als Integrationsbereich:
[mm]V = \int \limits_{x^2 + y^2 \leq x} \left( x^2 + y^2 \right)~\mathrm{d}(x,y)[/mm]
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