Volumen berechnen (Halbkugel?) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers der von den Flächen
z = 1 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2
[/mm]
z = 0
eingeschlossen ist. |
Hallihallo liebe Helfer,
zuerst einmal ein dankeschön. Mir wurde hier schon wirklich viel geholfen.
Dann die Frage:
Die Msuterlösung präsentiert folgendes Vorgehen:
V = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{1}{(1 - r^2)r\ dr\ d\phi} [/mm] =... = [mm] \fac{\pi}{2}
[/mm]
Ich wollte das lieber mit Kugelkoordinaten machen.
Also meiner Ansicht nach ist das doch eine Halbkugel über (0,0) mit dem Radius 1.
Ich rechne dann
[mm] V_{meins} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{2\pi}{} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{r^2 sin \Theta \ d\Theta \ d\phi \ dr}
[/mm]
und komme damit auf [mm] \frac{2}{3\pi}. [/mm] Ist insofern plausibel, als dass die Kugel ein Volumen von [mm] \frac{4}{3\pi} [/mm] hat, also gerade das Doppelte.
Da ich in der Musterlösung keinen Fehler gefunden habe und es eh wahrscheinlicher ist, dass der Fehler bei mir liegt die Frage wo steckt er der Fehlerteufel?
Ich vermute das ist keine Halbkugel, aber irgendwie ists doch plausibel.
Für x = 1 x=-1 und y=1 und y=-1 ist z jeweils 0. Für (0,0) ist z=1.
Und ansonsten stell ich mir das als Dreieck vor, bei dem die Hypothenuse mit der Länge 1 umherschwingt.
Kann mich jemand bitte mit dem Zaunpfahl erschlagen?
Vielen Dank und Grüße
P.S. Rechenweg stell ich ein, falls nötig
Mumrel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Mo 27.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi,
> [mm]z = 1 - x^2 - y^2[/mm]
> Also meiner Ansicht nach ist das doch eine Halbkugel über (0,0) mit dem Radius 1.
Nein, das wäre [mm]z^2 = 1 - x^2 - y^2[/mm]! Es ist ein Rotationsparaboloid.
Betrachte doch den Schnitt mit der Ebene y=0: da ist [mm]z = 1 - x^2 [/mm]. Das ist eine Parabel, kein Halbkreis.
Gute Nacht
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo Rainer,
wieder einmal verdienst du dich als Helfer ;).
Du hast natürlich mit deiner Begründung Recht, da hätte man drauf kommen sollen ..
Danke und Gute Nacht
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