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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Volumen Pyramide

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Volumen Pyramide: Tipp

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	15:47 Mi 18.06.2008
Autor:	Jule_

Aufgabe

 Gegeben ist die Ebene: E: [mm] 3_x1+2x_2+4x_3=12
 [/mm]

Die Spurpunkte der Ebene bilden zusammen mit dem Ursprung die Ecken einer dreiseitigen Pyramide. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide möglichst geschickt. 

Die Spurpunkte zu bestimmen war kein Problem:

[mm] S_1(4/0/0) [/mm]
[mm] S_2(0/6/0) [/mm]
[mm] S_3(0/0/3) [/mm]

aber als Lösung für die Volumemberechnung ist angegeben:

- aus den Kooardinaten der Spurpunkte ergibt sich sofort:

[mm] V=\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{2}*4*6)*3=12 [/mm]

Kann mir das jemand erklären?

Ich habe zunächst die Höhe der mit der Hess'chen Formel berechnet

h=0,414

....und dann komm ich nicht mehr weiter.

Bezug

Volumen Pyramide: anders anschauen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:07 Mi 18.06.2008
Autor:	Al-Chwarizmi

> Gegeben ist die Ebene: E: [mm]3_x1+2x_2+4x_3=12[/mm]
>  Die Spurpunkte der Ebene bilden zusammen mit dem Ursprung
> die Ecken einer dreiseitigen Pyramide. Berechnen Sie das
> Volumen der Pyramide möglichst geschickt.
>  Die Spurpunkte zu bestimmen war kein Problem:
>
> [mm]S_1(4/0/0)[/mm]
>  [mm]S_2(0/6/0)[/mm]
>  [mm]S_3(0/0/3)[/mm]
>
> aber als Lösung für die Volumenberechnung ist angegeben:
>
> - aus den Kooardinaten der Spurpunkte ergibt sich sofort:
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{2}*4*6)*3=12[/mm]
>
> Kann mir das jemand erklären?
>
> Ich habe zunächst die Höhe der mit der Hesseschen Formel
> berechnet
>
> h=0,414

ich bekomme h=2.228
mit diesem h meinst du bestimmt den Abstand der Ebene von O(0/0/0)

> ....und dann komm ich nicht mehr weiter.
>

Falls du mit diesem Ansatz weiter rechnen möchtest, müsstest
du als nächstes die "Grundfläche", also die Fläche des Dreiecks
[mm] S_1S_2S_3 [/mm] berechnen. Am elegantesten ginge dies via Vektorprodukt...

Es ist aber viel einfacher, wenn du die Pyramide nur etwas
anders betrachtest: Nimm als "Grundfläche" nicht [mm] S_1S_2S_3 [/mm] ,
sondern  das Dreieck  [mm] OS_1S_2 [/mm] !

Dann verstehst du wohl auch leicht die Formel, die du oben
angegeben hast. Die Grundformeln für Dreiecksfläche
und Pyramidenvolumen sind dir sicher bekannt.   ;-)

Es ist aber interessant zu sehen, wie viele bei dieser Aufgabe
zuerst gerade den "umständlichsten" Weg einschlagen...