Volumen Ellipsoid < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Sa 14.12.2013 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | | https://projecteuler.net/problem=449 |
Moin!
Bin grade dabei das aktuelle Project Euler Problem 449 (https://projecteuler.net/problem=449) zu lösen und mache dabei wohl irgendwas falsch. Gefragt ist ja im Prinzip nur nach dem Volumen der Schokolade einer Schokolinse (Ellipsoid).
Das Volumen eines (Rotations-)Ellipsoid beträgt
[mm]V=\bruch{4}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot b[/mm]
Mit der Dicke der Schokolade von 1 mm komme ich mit folgender Formel auch auf [mm]\bruch{28}{3} \cdot \pi[/mm], wie es in der Aufgabe für a = b = 1 mm angegeben ist.
[mm]V=\bruch{4}{3} \cdot \pi \cdot ((a+1mm)^2 \cdot (b+1mm) - a^2 \cdot b)[/mm]
Für das zweite in der Aufgabe gegebene Beispiel (a = 2mm, b = 1mm) komme ich damit allerdings nicht auf 60.35475635.
Hat jemand eine Idee, wo mein Fehler ist? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 So 15.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn eine Kugel einen Schokoüberzug erhält, ist das ganze wieder eine Kugel, aber wenn ein Rotationsellipsoid einen überall gleich dicken Überzug erhält, ist das ganze am Ende kein Rotationsellipsoid mehr.
Gruß Sax.
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> https://projecteuler.net/problem=449
> Moin!
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> Bin grade dabei das aktuelle Project Euler Problem 449
> (https://projecteuler.net/problem=449) zu lösen und mache
> dabei wohl irgendwas falsch. Gefragt ist ja im Prinzip nur
> nach dem Volumen der Schokolade einer Schokolinse
> (Ellipsoid).
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> Das Volumen eines (Rotations-)Ellipsoid beträgt
> [mm]V=\bruch{4}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot b[/mm]
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> Mit der Dicke der Schokolade von 1 mm komme ich mit
> folgender Formel auch auf [mm]\bruch{28}{3} \cdot \pi[/mm], wie es
> in der Aufgabe für a = b = 1 mm angegeben ist.
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> [mm]V=\bruch{4}{3} \cdot \pi \cdot ((a+1mm)^2 \cdot (b+1mm) - a^2 \cdot b)[/mm]
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> Für das zweite in der Aufgabe gegebene Beispiel (a = 2mm,
> b = 1mm) komme ich damit allerdings nicht auf 60.35475635.
>
> Hat jemand eine Idee, wo mein Fehler ist? :)
Hallo yildi,
auf den Hauptfehler hat Sax schon hingewiesen: die
äußere Fläche soll eine Parallelfläche zum inneren
Ellipsoid sein. Diese Parallelfläche ist kein Ellipsoid.
Um ihr Volumen zu berechnen, kann man z.B. eine
geeignete Parametrisierung mit einem Parameter t
für einen Winkel benützen. Die Integration ist dann
allerdings schwierig, soll aber wohl mit Rechnerhilfe
numerisch erfolgen.
Auf diese Weise kam ich zuerst auch nicht auf das
angegebene Resultat, bis ich merkte, dass du uns
mit einem anderen Fehler noch ein faules Ei gelegt
hast: du hast die falsche Achse als Rotationsachse
betrachtet ! In deinen Volumenformeln musst du a
und b vertauschen !
(da habe ich mich selber zunächst geirrt ... Al-Chw.)
Dann noch eine Anmerkung zur Aufgabenstellung:
Soll es tatsächlich um die Schokohüllen von so
kleinen Dragées gehen, wird natürlich kaum jemand
wirklich auf die Idee kommen, erstens das Volumen
des Überzugs wirklich zu berechnen und dafür zu
sorgen, dass da wirklich exakte Ellipsoide als Kerne
hergestellt werden und dass die Schokoladeschicht
überall exakt 1 mm dick ist. Auch die geforderte
numerische Genauigkeit mit 8 Nachkommastellen
ist absolut hirnrissig, falls das Problem wirklich
aus irgendeiner praktischen Anwendung stammen
sollte. In der Realität hat man es nur in hochpräzisen
Experimenten tatsächlich mit derartigen Genauig-
keitsforderungen zu tun.
LG , Al-Chw.
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