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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Gesucht ist ein Model, mit dem gezeigt werden kann, dass das Vollständigkeitsaxiom unabhängig von den übrigen Axiomen der Axiomatischen Geometrie ist. |
Hallo,
eigentlich eine Frage aus der Geometrie, aber doch mit Mitteln der Algebra zu lösen, also ich hoffe die Forenauswahl ist so ok.
Zur Frage: Ich brauche einen Körper, der nicht endlich, archimedisch geordnet und pythagoräisch (d.h. für alle $a,b [mm] \in [/mm] K: [mm] \sqrt{a^2+b^2} \in [/mm] K$), aber in dem das Vollständigkeitsaxiom nicht gilt.
So betrachtet man den Körper der algebraischen Zahlen A. Dieser ist schonmal pythagoräisch und nicht endlich. Allerdings ist er eine Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] was schlecht fürs Archimedische Axiom ist. Deswegen würde ich nun $A [mm] \cap \IR$ [/mm] nehmen.
$A [mm] \cap \IR$ [/mm] ist nicht vollständig, da es transzendente Zahlen in [mm] \IR [/mm] gibt, die es in A nicht gibt.
Folglich müsste die Affine Ebene über dem Körper $K := A [mm] \cap \IR$ [/mm] die Bedingungen erfüllen.
Bin dankbar für Meinungen und Kritik!
Viele Grüße
teo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 30.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gesucht ist ein Model, mit dem gezeigt werden kann, dass
> das Vollständigkeitsaxiom unabhängig von den übrigen
> Axiomen der Axiomatischen Geometrie ist.
>
> eigentlich eine Frage aus der Geometrie, aber doch mit
> Mitteln der Algebra zu lösen, also ich hoffe die
> Forenauswahl ist so ok.
>
> Zur Frage: Ich brauche einen Körper, der nicht endlich,
> archimedisch geordnet und pythagoräisch (d.h. für alle
> [mm]a,b \in K: \sqrt{a^2+b^2} \in K[/mm]), aber in dem das
> Vollständigkeitsaxiom nicht gilt.
>
> So betrachtet man den Körper der algebraischen Zahlen A.
> Dieser ist schonmal pythagoräisch und nicht endlich.
> Allerdings ist er eine Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] was schlecht
> fürs Archimedische Axiom ist. Deswegen würde ich nun [mm]A \cap \IR[/mm]
> nehmen.
>
> [mm]A \cap \IR[/mm] ist nicht vollständig, da es transzendente
> Zahlen in [mm]\IR[/mm] gibt, die es in A nicht gibt.
Genau.
Alternativ kannst du auch den Abschluss von [mm] $\IQ$ [/mm] unter Quadratwurzeln von positiven Zahlen in [mm] $\IR$ [/mm] nehmen. Das ist der kleinste Unterkoerper $K$ von [mm] $\IR$, [/mm] so dass [mm] $\sqrt{a} \in [/mm] K$ fuer alle $a [mm] \in [/mm] K$, $a > 0$ gilt. Dieser ist enthalten in $A [mm] \cap \IR$.
[/mm]
> Folglich müsste die Affine Ebene über dem Körper [mm]K := A \cap \IR[/mm]
> die Bedingungen erfüllen.
Ja, sehe ich genauso.
LG Felix
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