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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 06.11.2012 | | Autor: | momo123 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] C^1([a,b]) [/mm] bezüglich der Supremumsnorm
[mm] ||f||_{C^0} [/mm] := [mm] \sup_{x \in [a,b] } [/mm] |f(x)|
nicht vollständig ist. |
Hallo zusammen,
Ich soll obiges zeigen:
Hierzu sei ja erstmal gesagt, dass der Raum vollständig ist, falls jede Cauchy Folge in ihm konvergiert.
d.h. ja jetzt für die Aufgabe, dass man eine Cauchy Folge finden müsste,deren Grenzwert aber nicht in [mm] C^1([a,b]) [/mm] liegt.
Ist die Idee soweit schon mal korrekt?
Das Problem ist, dass mir noch nicht ganz klar ist, wie so eine Folge aussehen soll, die selbst in [mm] C^1([a,b]) [/mm] deren Grenzwert aber nicht stetig differenzierbar ist!
Wäre sehr dankbar für einen Hinweis!
Viele Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
nenne doch mal bitte eine einfache Funktion, die du kennst, die nicht in [mm] C^1 [/mm] aber in [mm] C^0 [/mm] liegt (oder anders ausgedrückt: Stetig, aber nicht differenzierbar).
Vergleich diese mal mit [mm] x^2
[/mm]
Und nun versuche mal eine Folge zu konstruieren, die bei [mm] x^2 [/mm] anfängt und bei deiner Funktion endet 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 06.11.2012 | | Autor: | momo123 |
HI,
Also als Funktion die zwar stetig ist, aber nicht differenzierbar fällt mir jetzt spontan nur die Betragsfunktion f(x) = |x| ein, die ist ja stetig, aber in x=0 nicht differenzierbar.
Wenn ich diese jetzt Vergleiche mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] fällt mir nur auf, dass der Betrag halt in x=0 einen Knick hat, weshalb sie dort nicht differenzierbar ist und [mm] x^2 [/mm] schön glatt verläuft.
Eine Folge die bei [mm] x^2 [/mm] anfängt und bei |x| endet im Intervall [a,b]?
d.h. man müsste eine Folge konstruieren, die den Grenzwert |x| hat?
Sehe ich das richtig?
Aber wie soll so eine Folge aussehen?
Wenn man z.b. wie folgt wählt:
[mm] f_n [/mm] (x) = [mm] ((\bruch{1}{n} x)^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]
Viele Grüße.
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Hiho,
> Also als Funktion die zwar stetig ist, aber nicht
> differenzierbar fällt mir jetzt spontan nur die
> Betragsfunktion f(x) = |x| ein, die ist ja stetig, aber in
> x=0 nicht differenzierbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich diese jetzt Vergleiche mit [mm]f(x)=x^2[/mm] fällt mir nur
> auf, dass der Betrag halt in x=0 einen Knick hat, weshalb
> sie dort nicht differenzierbar ist und [mm]x^2[/mm] schön glatt verläuft.
>
> Eine Folge die bei [mm]x^2[/mm] anfängt und bei |x| endet im Intervall [a,b]?
Jo.
> d.h. man müsste eine Folge konstruieren, die den Grenzwert |x| hat?
Ja.
> Wenn man z.b. wie folgt wählt:
>
> [mm]f_n[/mm] (x) = [mm]((\bruch{1}{n} x)^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Wogegen konvergiert das?
Offensichtlich nicht gegen |x|.
Eine Vielversprechende Vorgehensweise wäre folgende:
Die Betragsfunktion ist ja nur in x=0 nicht differenzierbar.
Dann "schneide" um die Null doch einfach ein kleines Intervallstück heraus und ergänze die Lücke durch eine in Null differenzierbare Funktion, bspw. [mm] x^2
[/mm]
Diese musst du natürlich so anpassen, dass deine neue Funktion auch an den "Nahtstellen" (also den Intervallgrenzen deines herausgenommenen Intervalls) weiterhin differenzierbar bleibt. Dies ist aber nicht so wirklich schwer
MFG,
Gono.
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