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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:45 So 29.11.2015 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{P}:=\{\mathrm{P}\text{ ist Maß auf }(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)\mid \mathrm{P}\text{ hat eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes }\lambda\}$, $k\in\mathbb{N}_{>0}$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Statistik [mm] $T(x):=[\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2,\ldots,\sum_{i=1}^nx_i^k]'$ [/mm] vollständig für [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] ist.
Hinweis: Betrachte die [mm] $\lambda$-Dichten $p_\theta(x)=A(\theta)\exp(-\sum_{i=1}^nx_i^{2k}+\theta'T(x))$. [/mm] Vollständigkeit von Exponentialfamilien. |
Hallo liebe Forenmitglieder,
ich habe ein paar kleine Verständnisprobleme (hauptsächlich wegen des Hinweises) mit dieser Aufgabe. Zu zeigen ist ja, dass für alle messbaren [mm] $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k$ [/mm] mit [mm] $E_P[g(T)]=0$ [/mm] bereits $g(T)=0$ $P$-f.s. für alle [mm] $P\in\mathcal{P}$ [/mm] gilt.
Aber der Hinweis verwirrt mich etwas. Es ist ja nicht so, dass [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] eine Exponentialfamilie ist. Oder wo liegt mein Denkfehler?
Würde mich sehr über einen kleinen Denkanstoß freuen.
Vielen Dank und einen schönen Sonntag,
DerBaum
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:27 So 29.11.2015 | | Autor: | DerBaum |
Also ich habe mir nochmal ein paar Gedanken gemacht:
Ich wähle [mm] $\Theta:=\mathbb{R}^k$ [/mm] und:
[mm] $(\mathcal{P}_\theta)_{\theta\in\Theta}:=\left\{P\in\mathcal{P}\mid P\text{ hat }\lambda\text{-Dichte }p_\theta(x):=A(\theta)\exp\left(-\sum_{i=1}^nx_i^{2k}+\theta'T(x)\right)\text{ für ein }\theta\in\Theta\right\}\subset\mathcal{P}$
[/mm]
Dann ist [mm] $(\mathcal{P}_\theta)_\theta$ [/mm] eine Exponentialfamilie, und da [mm] $\mathrm{int}(\Theta)\neq\emptyset$ [/mm] ist $T(x)$ vollständig für [mm] $(\mathcal{P}_\theta)_\theta$.
[/mm]
Aber wie kann ich hieraus schon die Vollständigkeit für [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] schließen?
Vielen Dank
DerBaum
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(Frage) überfällig | | Datum: | 04:17 Mo 30.11.2015 | | Autor: | DerBaum |
Ich habe mir nun nochmal Gedanken gemacht:
Ich habe gezeigt, dass [mm] $p_\theta$ [/mm] für alle [mm] $\theta\in\Theta$ [/mm] eine Dichte darstellt, d.h. integrierbar und nicht-negativ.
Nun gilt doch mit Radon-Nikodym, dass [mm] $P_\theta<<\lambda^n$ [/mm] für [mm] $P_\theta\in(\mathcal{P}_\theta)_\theta$
[/mm]
Wenn nun zusätzlich noch gilt, dass [mm] $\lambda^n<
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Fr 04.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 03.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 03.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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