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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | daTidus |
| Aufgabe | Sei X ein metrischer Raum und A [mm] \subset [/mm] X dicht.
Beh.: Jede Cauchyfolge von Elementen aus A konvergiert in X [mm] \Rightarrow [/mm] X ist vollständig. |
Ich habe zu der Aufgabe das Beispiel [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] vor Augen und die Aussage erscheint auch logisch, allerdings habe ich keine Idee, wie ich die Behauptung beweisen soll.
daTidus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
d sei die Metrik auf X
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X. Da A dicht in X, gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] z_n \in [/mm] A mit
[mm] $d(x_n,z_n) [/mm] < 1/n$
Aus der Dreiecksungl. erhalten wir:
[mm] d(z_n,z_m) \le d(z_n,x_n)+d(x_n,z_m) \le d(z_n,x_n)+d(x_n,x_m) +d(x_m,z_m) \le \bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}+d(x_n,x_m) [/mm]
Daher ist [mm] (z_n) [/mm] eine Cauchyfolge in A. Nach Vor. ex. ein [mm] z_0 [/mm] in X mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n [/mm] = [mm] z_0, [/mm] also [mm] $d(z_n,z_0) \to [/mm] 0 $
Dann:
[mm] $d(x_n,z_0) \le d(x_n,z_n)+d(z_n,z_0) \le [/mm] 1/n + [mm] d(z_n,z_0)$
[/mm]
Also konvergiert [mm] (x_n) [/mm] (gegen [mm] z_0)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Do 23.04.2009 | | Autor: | daTidus |
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort, die keine Fragen bei mir offen lässt.
daTidus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Das ist schön
FRED
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