Vollständiger Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Man beweise durch vollständige Induktion, dass für jede natürliche Zahl n stets
[mm] 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n(n+1)}{2})^{2} [/mm]
gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bisheriger Fortschritt:
Induktionsanfang: [mm] n_{0}=1
[/mm]
[mm] (\bruch{1(1+1)}{1})^{2} [/mm] = 1
Induktionsschluss: [mm] n\mapsto [/mm] n+1
[mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{(n+1
)(n+2)}{2})^{2}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt folgendes. Ich bin mir sehr sicher das ich das nicht einfach so stehen lassen kann. Das lösen von Problemen auf allgemeiner Basis so wie derart dargestellte Zahlenfolgen bin ich gestern zum ersten mal begegnet. In der Schulmatemathik war das Umformen in der Regel immer leicht oder sogar offensichtlich wie und wo. Ich möchte nur ein Tipp haben wo man hier ansetzen kann und wie es Schlußendlich aussehen soll. Theoretisch kann ich ja jetzt schon Zahlen einsetzen um die Äquivalenz zu beweisen. Aber ich hab das Gefühl das ich damit allgemein nichts beweise. Schließlich hab ich ja nur n+1 eingesetzt. Das Prinzip von Induktion und Zahlenfolgen hab ich mittlerweile einigermaßen verstanden denke ich. Aber das einfache Ausrechnen scheint mein Problem zu sein. Wenn mir jemand ein kleinen Tipp geben könnte wär ich wirklich sehr dankbar :O
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Hallo maurizz,
Du sollst es allgemein zeigen, nicht nur für Einzelfälle.
Darum geht es doch bei der vollständigen Induktion!
> Man beweise durch vollständige Induktion, dass für jede
> natürliche Zahl n stets
>
> [mm]1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> gilt.
>
> Bisheriger Fortschritt:
>
> Induktionsanfang: [mm]n_{0}=1[/mm]
> [mm](\bruch{1(1+1)}{1})^{2}[/mm] = 1
Das stimmt so nicht. In den Nenner gehört eine 2, dann passt es.
> Induktionsschluss: [mm]n\mapsto[/mm] n+1
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm] + [mm](n+1)^{3}[/mm] = [mm](\bruch{(n+1 )(n+2)}{2})^{2}[/mm]
> Mein Problem ist jetzt folgendes. Ich bin
> mir sehr sicher das ich das nicht einfach so stehen lassen
> kann.
So ist es. Das sollst Du durch geeignete Umformungen zeigen.
> Das lösen von Problemen auf allgemeiner Basis so wie
> derart dargestellte Zahlenfolgen bin ich gestern zum ersten
> mal begegnet. In der Schulmatemathik war das Umformen in
> der Regel immer leicht oder sogar offensichtlich wie und
> wo. Ich möchte nur ein Tipp haben wo man hier ansetzen
> kann und wie es Schlußendlich aussehen soll.
Im Idealfall sollst Du die linke Seite schrittweise so umformen, dass schließlich die rechte Seite dabei herauskommt.
Genausogut kannst Du aber die Gleichung oben nehmen und überprüfen, ob sie stimmt, indem Du geeignete Äquivalenzumformungen vornimmst. Man könnte z.B. erstmal mit 4 multiplizieren, dann die linke Seite als [mm] n^2(n+1)^2+(n+1)^3 [/mm] schreiben und aus dieser Summe [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammern...
> Theoretisch
> kann ich ja jetzt schon Zahlen einsetzen um die Äquivalenz
> zu beweisen.
Wenn Du Zahlen einsetzt, beweist Du gar nichts.
Dann zeigst Du nur, dass für die eingesetzte(n) Zahl(en) die Gleichung stimmt. Aber was hilft mir das, wenn ich weiß, dass die Formel für n=1 und n=5 und n=1744 gültig ist?
> Aber ich hab das Gefühl das ich damit
> allgemein nichts beweise.
Mit Zahlen nicht, aber so wie oben schon.
> Schließlich hab ich ja nur n+1
> eingesetzt.
Genau darum geht es. Wenn die Formel für n stimmt, dann sollst Du jetzt zeigen, dass sie auch für n+1 stimmt.
> Das Prinzip von Induktion und Zahlenfolgen hab
> ich mittlerweile einigermaßen verstanden denke ich.
Sicher?
> Aber
> das einfache Ausrechnen scheint mein Problem zu sein. Wenn
> mir jemand ein kleinen Tipp geben könnte wär ich wirklich
> sehr dankbar :O
Habe ich oben schon getan, rechne das mal nach. Im Endeffekt ist dann nur noch zu zeigen, dass [mm] n^2+4(n+1)=(n+2)^2 [/mm] ist. Das sollte nicht zu schwer sein. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich bin zum Ergebnis gekommen......... aber wie halt... ich muss hinzufügen, dass ich bevor ich mein abi nachgeholt habe auf der Hauptschule war und mir deshalb die elementarsten Gesetze fehlen. Dennoch hab ich irgendwie mein Abi ziemlich gut geschafft. Hier mein Lösungsweg:
[mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)(n+1)}{2})^{2}
[/mm]
Jetzt hab ich einfach alles aufgespalten:
[mm] (\bruch{n(n+1)}{2})*(\bruch{n(n+1)}{2}) [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] (\bruch{(n+1)(n+1)}{2})(\bruch{(n+1)(n+1)}{2})
[/mm]
Da ich nach langem Schwitzen einfach kein schnelleren Weg gefunden habe, dachte ich mir dann multipliziere ich eben:
[mm] \bruch{(n^{2}+n)(n^{2}+n)}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)}{4}
[/mm]
Grübel grübel ich multipliziere mit 4 weils so spaß macht:
[mm] (n^{2}+n)(n^{2}+n) [/mm] + [mm] 4(n+1)^{3} [/mm] = (n+1)(n+2)(n+1)(n+2)
Dann hab ich die binomische Formel für hoch 3 angewendet und siehe da:
[mm] (n^{2}+n)(n^{2}+n) [/mm] + [mm] 4(n^{3}+3n^{2}+3n+1) [/mm] = (n+1)(n+2)(n+1)(n+2)
Ja. Ich habe tatsächlich alles ausmultipliziert:
[mm] n^{4}+n^{3}+n^{3}+n^{2}+4n^{3}+12n^{2}+12n+4 [/mm] = [mm] n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4
[/mm]
Anschließend konnte ich meinen Augen nicht trauen:
0=0
und das ist eine wahre Aussage oder nicht? was stimmt das stimmt oder irre ich mich da?
Jedenfalls hatte mein Vorgänger mir ein Tipp gegeben den ich nicht nachvollziehen konnte... und es wäre sehr schön wenn mir jemand diesen Tipp genauer erklären könnte damit ich etwas schneller zu Ergebnissen komme:=)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Ich bin zum Ergebnis gekommen......... aber wie halt... ich
> muss hinzufügen, dass ich bevor ich mein abi nachgeholt
> habe auf der Hauptschule war und mir deshalb die
> elementarsten Gesetze fehlen. Dennoch hab ich irgendwie
> mein Abi ziemlich gut geschafft. Hier mein Lösungsweg:
>
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> Jetzt hab ich einfach alles aufgespalten:
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})*(\bruch{n(n+1)}{2})[/mm] + [mm](n+1)^{3}[/mm] =
> [mm](\bruch{(n+1)(n+1)}{2})(\bruch{(n+1)(n+1)}{2})[/mm]
> Da ich nach langem Schwitzen einfach kein schnelleren Weg
> gefunden habe, dachte ich mir dann multipliziere ich eben:
> [mm]\bruch{(n^{2}+n)(n^{2}+n)}{4}[/mm] + [mm](n+1)^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)}{4}[/mm]
> Grübel grübel ich multipliziere mit 4 weils so spaß
> macht:
> [mm](n^{2}+n)(n^{2}+n)[/mm] + [mm]4(n+1)^{3}[/mm] = (n+1)(n+2)(n+1)(n+2)
> Dann hab ich die binomische Formel für hoch 3 angewendet
> und siehe da:
> [mm](n^{2}+n)(n^{2}+n)[/mm] + [mm]4(n^{3}+3n^{2}+3n+1)[/mm] =
> (n+1)(n+2)(n+1)(n+2)
> Ja. Ich habe tatsächlich alles ausmultipliziert:
> [mm]n^{4}+n^{3}+n^{3}+n^{2}+4n^{3}+12n^{2}+12n+4[/mm] =
> [mm]n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4[/mm]
> Anschließend konnte ich meinen Augen nicht trauen:
> 0=0
Ja, das sieht gut aus. Ich selbst finde es eleganter, wenn man nur über ...=...=...=... zum Ergebnis kommt, aber Äquivalenzumformungen, wie du sie nutzt funktionieren ebenso. Du wirkst dennoch recht unsicher im Umfang mit Induktion, ich schreibe dir deswegen mal eine Musterlösung auf, nach diesem Muster kannst du viele Aufgaben lösen.
> und das ist eine wahre Aussage oder nicht? was stimmt das
> stimmt oder irre ich mich da?
> Jedenfalls hatte mein Vorgänger mir ein Tipp gegeben den
> ich nicht nachvollziehen konnte... und es wäre sehr schön
> wenn mir jemand diesen Tipp genauer erklären könnte damit
> ich etwas schneller zu Ergebnissen komme:=)
>
Behauptung: [mm] 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Induktionsanfang: Für [mm] n=n_0=1 [/mm] folgt: [mm] 1^3=1=(\frac{1(1+1)}{2})^2
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: Gelte nun [mm] 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2 [/mm] für ein [mm] n\in\IN. [/mm] Für n+1 ergibt sich dann der:
Induktionsschluss: [mm] 1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3
[/mm]
[mm] =(\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(n^4+3n^3+2n^2+3n^3+9n^2+6n+2n^2+6n+4)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(n^2+3n+2)^2
[/mm]
[mm] =(\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2})^2.
[/mm]
Aus einer Aussage für n folgt damit stets die Aussage für n+1 und die Behauptung gilt damit für alle natürlichen [mm] n\ge1.
[/mm]
Ich habe praktisch die gleichen Schritte gemacht wie du, aber bei der Induktion ist es wichtig, dass man sie am Anfang formal richtig durchführt, damit man sich nichts Falsches angewöhnt.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Danke, sieht sehr gut aus. Dann befass ich mich mal weiter mit der Materie:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Fr 05.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Maurizz,
noch eleganter geht der Induktionsschritt so:
[mm] \left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\bruch{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2
[/mm]
was zu zeigen war.
Meistens gilt: möglichst wenig ausmultiplizieren, möglichst viel zusammenfassen. Nötig sind hier vor allem das Distributivgesetz a(b+c)=ab+ac, eine binomische Formel [mm] (n+2)^2=n^2+2*2n+2^2 [/mm] und das Wissen, das [mm] 2^2=4 [/mm] ist. Damit kommt man aus.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend,
> [mm]\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\bruch{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\bruch{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2[/mm]
>
> was zu zeigen war.
>
> Meistens gilt: möglichst wenig ausmultiplizieren,
> möglichst viel zusammenfassen. Nötig sind hier vor allem
> das Distributivgesetz a(b+c)=ab+ac, eine binomische Formel
> [mm](n+2)^2=n^2+2*2n+2^2[/mm] und das Wissen, das [mm]2^2=4[/mm] ist. Damit
> kommt man aus.
Nicht ganz. Hauptnenner wirken oft Wunder, so wie in Deinem ersten Schritt!
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
danke danke! Ich muss sagen das ich hier an einem Tag mehr gelernt habe als damals in der Schule in Wochen...:) Das wird meine neue Startseite.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Es sei durch [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}, a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{2n}{n+1}*a_{n}} [/mm] eine Folge [mm] a_{n} [/mm] positiver reeller Zahlen rekursiv definiert.
a) Man zeige, dass die Folge monoton steigt. |
Laut meinem schlauen Buch soll man es dadurch bestimmen, dass man in der Rekursionsformel [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] = ... = a setzt und die entstehende Gleichung nach a auflöst und anschließend mittels einer vollständigen Induktion die Vermutung beweist.
Leider verstehe nich was gemeint ist.. soll ich rückwärts rechnen? Ich würde gerne ersteinmal selbst versuchen. Trotzdem wäre ich nicht abgeneigt wenn man mir ein Hinweiß geben könnte.
Zum einen verstehe ich nicht so ganz was mit "nach a auflösen" gemeint ist. Ich glaube die Eigenschaft rekursiv ist hier mein Problem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Fr 05.10.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
WENN die folge konverfiert, gegen einen noch unbekannte a, dann konverfiert a_n und a_{n+1} für n gegen unendlich gegen denselben Wert, deshalb muss dann für a gelten:
a== $ \wurzel{1+\cdot{}2a $ weil 2n/(n+1) gegen 2 geht.
daraus findet man den GW
Aber das ist der leichte Teil, erst muss man zeigen, dass die Folge konvergiert, und das zeigt man mit den 2 Schritten a) und b)
denn jede nach oben beschränkte Folge die monoton steigt konvergiert.
Gruss leduart
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