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Hallo!
Ich habe ein Problem mit vollgender Aufgabe: n [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \bruch{1}{k}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k}
[/mm]
Ich habe es schon mit Induktionsanfang(n=1) und [mm] Induktionsschritt(n\ton+1) [/mm] versucht,komme aber irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe Ihr könnt mir behilflich sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dann mache ich dir den Induktionsschritt mal vor:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{k} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1+k} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1+k} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1+k} [/mm] + [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1+k} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+2}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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