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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Diophant |
| Aufgabe | z.z.:
Es seien m, n ganze Zahlen [mm] \ge0 [/mm] und m>0. Dann gibt es ganze Zahlen q, r [mm] \ge [/mm] 0 derart, dass
n=qn+r und [mm] 0\le [/mm] r<m.
Durch diese Bedingungen sind q und r eindeutig bestimmt. |
Hallo zusammen,
es geht mir hier nicht darum, diesen allseits bekannten Sachverhalt zu beweisen. Meine Frage bezieht sich auf folgenden Beweis von Serge Lang aus dem Werk Algebraische Strukturen:
---
Beweis. Wir beweisen zuerst die Existenz durch Induktion nach n.
(0) Für n=0 sind mit q=r=0 die Bedingungen erfüllt.
(1) Es sein nun n>0. Im Falle n<m nehmen wir q=0 und r=n. Im Falle n [mm] \ge [/mm] m haben wir 0 [mm] \le [/mm] n-m < n. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es [mm] q_1, [/mm] r [mm] \ge [/mm] 0 mit
[mm] n-m=q_1 [/mm] *m+r und r<m.
Dann ist
[mm] n=m+q_1 m+r=(1+q_1)m+r.
[/mm]
Damit ist die Existenz von [mm] q=1+q_1 [/mm] und r wie gewünscht bewiesen.
---
Es folgt nun noch ein kurzer Beweis der Eindeutigkeit. Meine Frage ist nun einfach die, weshalb dieser Beweis (bei dem ich keinerlei Mühe habe, ihn nachzuvollziehen) in dem Buch als vollständige Induktion bezeichnet wird. Ich sehe zwar einen Induktionsanfang, aber keinen Induktionsschluss, weder in der Form A(k)=>A(k+1) noch in der Form A(0), A(1), ... A(k-1) => A(k).
Hat jemand dafür eine Erklärung?
Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Sa 04.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> z.z.:
> Es seien m, n ganze Zahlen [mm]\ge0[/mm] und m>0. Dann gibt es
> ganze Zahlen q, r [mm]\ge[/mm] 0 derart, dass
>
> n=qn+r und [mm]0\le[/mm] r<m.
>
> Durch diese Bedingungen sind q und r eindeutig bestimmt.
> Hallo zusammen,
>
> es geht mir hier nicht darum, diesen allseits bekannten
> Sachverhalt zu beweisen. Meine Frage bezieht sich auf
> folgenden Beweis von Serge Lang aus dem Werk Algebraische
> Strukturen:
>
> ---
>
> Beweis. Wir beweisen zuerst die Existenz durch Induktion
> nach n.
> (0) Für n=0 sind mit q=r=0 die Bedingungen erfüllt.
> (1) Es sein nun n>0. Im Falle n<m nehmen wir q=0 und r=n.
> Im Falle n [mm]\ge[/mm] m haben wir 0 [mm]\le[/mm] n-m < n. Nach
> Induktionsvoraussetzung gibt es [mm]q_1,[/mm] r [mm]\ge[/mm] 0 mit
>
> [mm]n-m=q_1[/mm] *m+r und r<m.
>
> Dann ist
>
> [mm]n=m+q_1 m+r=(1+q_1)m+r.[/mm]
>
> Damit ist die Existenz von [mm]q=1+q_1[/mm] und r wie gewünscht
> bewiesen.
>
> ---
>
> Es folgt nun noch ein kurzer Beweis der Eindeutigkeit.
> Meine Frage ist nun einfach die, weshalb dieser Beweis (bei
> dem ich keinerlei Mühe habe, ihn nachzuvollziehen) in dem
> Buch als vollständige Induktion bezeichnet wird. Ich sehe
> zwar einen Induktionsanfang, aber keinen Induktionsschluss,
> weder in der Form A(k)=>A(k+1) noch in der Form A(0), A(1),
> ... A(k-1) => A(k).
Nicht in dieser speziellen Form, aber in der Form $A(m) [mm] \implies [/mm] A(n)$ für jedes $m<n$.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo rainerS,
danke, dass du dir das durchgesehen hast. Dann heißt das also generell vollst. Induktion, wenn für m<n A(m) => A(n) gilt und die Aussage für ein festes [mm] n_0 [/mm] wahr ist. Macht ja auch Sinn, weil man sich ja im Prinzip auch hier auf das entsprechende Peano-Axiom stützt.
Vielen Dank also und schönes Wochenende rings herum!
Gruß, Diophant
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